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連続と平均について
f(x)を、0≦x≦1のとき f(x)=x*x で、それ以外は未定義の部分関数とすると、f(x)は全単射ですよね。 なのに、なぜ ∫[0, 1]xdx ≠ ∫[0, 1]f(x)dx なんでしょうか? (分かりにくくてすいません。 おおざっぱに言うと、0以上1以下の実数をもれなく1つずつ集めて各々にf(x)を適用したものは、やっぱり0以上1以下の実数をもれなく1つずつ集めたものなんだから、平均値は同じになりそうなものだが、どうしてそうじゃないのか、ということです。)
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平均値 ∫[0,1] x dx を求めるときの x の密度関数は 1、 平均値 ∫[0,1] f(x) dx を求めるときの x の密度関数は f(x)/x で、 両者では、x の分布が異なっているからです。 変域だけ [0,1] で同じでも、分布関数が異なれば、平均値は異なります。
補足
「密度関数」や「分布」という言葉について調べてみましたが、確率論の用語なんですね。 alice_44さんが仰っていることは、たぶん真っ当なことだと思うんですが、いきなり確率論の用語が出てくるのは、どうも腑に落ちません。 もし煩雑でなければで構わないですが、確率論の用語や幾何学の用語 (「曲線」「面積」など) を用いない表現が可能であれば、そのような表現での追回答をお願いしたいです。 (あるいは「しかじかの理由で、確率論の用語を用いるのが自然なのだ」というような道理があれば、それを提示して頂けるのでも嬉しいです。)
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補足
すみません、勉強が足りませんでした。 数量が有限の場合の平均と、無限の場合の平均とで、出所が違うんですね。 (それもまた不思議というか、確率とは別々に考えてもいいんじゃないかという気はしますが……。 確率論にとっては重要な概念でも、他の、確率を使わないような分野からすると、議論の範疇ではない、といった感じなんでしょうか。)