実関数fがaで微分可能である為には次の2条件が必要十分条件

質問

下記の命題が示せず困っています。

公理A Rは完備順序体である。
公理B R*はRの真拡大順序体である。
公理C(関数の公理)任意のn変数実関数fに対し,fの自然延長と呼ばれるn変数超実関数
f*が対応する。特にR*の体演算はRの体演算の自然延長である。
公理D(解の公理)二つの式系がちょうど同じ実解を持つならばそれらはちょうど同じ
超実解を持つ。
[定義1]x∈R*が無限小超実数であるの定義は0<∀r∈R,|x|<r
[定義2]x∈R*が有限超実数であるの定義は0<∃r∈R;|x|<r
[定義3]x,y∈R*において、x≒yの定義はx-yが無限小超実数である。
[定義4]R*∋∀x:有限超実数に対し,x≒yなるy∈Rがただ一つ存在する。このyをxの標
準部分と呼び,st(x)と書く。
[定義5]実数Sが実関数fのaでの勾配とは任意の0でない無限小超実数dxに対し,
S=st((f(a+dx)-f(a))/dx)が成立する事である。
[定義6]fのaでの勾配が存在する時,fはaで微分可能だと言う。
[定義7]実関数fの導関数f'とは次のような関数である。
(1) fのxでの勾配が存在すればf'(x)はその勾配に等しい。
(2) fのxでの勾配が存在しなければf'(x)は定義されない。

という定義です。それで

[問]実関数fがaで微分可能である為には次の2条件が必要十分条件である。
(1) x≒aなる全ての超実数xでf(x)は定義されている。
(2) 0でないあらゆる無限小dxに対し,商(f(a+dx)-f(a))/dx
は有限超実数で共通の標準部分を持つ。

という命題を証明したく思っていますがなかなか出来ません。
まず,
「実関数fがaで微分可能」⇒(1)
を示そうと思うのですが背理法でa≒∃x∈R*;f(x)は定義されない。
と仮定してみましたがここから先に進めません。

「実関数fがaで微分可能」⇒(2)
についても(f(a+dx)-f(a))/dxが有限超実数になる事は
S:=st((f(a+dx)-f(a))/dx)∈Rが存在するので
(f(a+dx)-f(a))/dx≒Sなので(f(a+dx)-f(a))/dx-Sは無限超実数で
0<∃r∈R;|(f(a+dx)-f(a))/dx-S|<r
よって|(f(a+dx)-f(a))/dx|<|S|+r(∈R)と書け、(f(a+dx)-f(a))/dxは有限超実数で
ある。
∀dx1,dx2∈R*,st((f(a+dx1)-f(a))/dx1)=st((f(a+dx2)-f(a))/dx2)が成立する事は
微分可能と勾配の定義から∀dx∈R*,S=st((f(a+dx)-f(a))/dx)なので
st((f(a+dx1)-f(a))/dx1)=st((f(a+dx2)-f(a))/dx2)が言える。

(1)と(2)⇒「実関数fがaで微分可能」
は(2)から丈で言え,(1)は不要な気もするのですが何処で(1)の条件を使うのでしょう
か?

回答No.2

rinkun · ベストアンサー

> (1) x≒aなる全ての超実数xでf(x)は定義されている。
これは厳密には「x≒aなる全ての超実数xでf*(x)が定義されている」ね。自然延長をいちいち*で表すのは面倒だから省略してfと書くことも多いけど。

それで「fがaで微分可能ならばfはaのある近傍で定義されている」ので、当然にfの自然延長f*はmonad(a)で定義されます。
# ここで monad(a):={x|x≒a}

上をもう少し詳細に見ましょう。
「aの近傍で定義される」は、きちんと書くと
∃r>0 ∀x (|x-a|<r ⇒ f(x)が定義される)
で、f*は自然延長ですから当然に
∃r>0 ∀x (|x-a|<r ⇒ f*(x)が定義される)
です。そして
monad(a)⊆{x| |x-a|<r}
ですから、x≒aならf*(x)は定義されます。

標準数学での定義と超準解析での定義の間の同値性はどれも大体において同じような手順で示すことになります。
標準数学での定義をきちんと押さえておけば難しいところはないので、標準数学でのエンティティと超準解析でのエンティティの関係を丁寧に確認していくようにしましょう。

お礼

ご回答誠に有難うございます。遅くなりまして申し訳有りません。

>> (1) x≒aなる全ての超実数xでf(x)は定義されている。
> これは厳密には「x≒aなる全ての超実数xでf*(x)が定義されている」ね。
> 自然延長を
> いちいち*で表すのは面倒だから省略してfと書くことも多いけど。

仰るとおりでございます。

> それで「fがaで微分可能ならばfはaのある近傍で定義されている」ので、
> 当然にfの
> 自然延長f*はmonad(a)で定義されます。
> # ここで monad(a):={x|x≒a}

了解致しました。

> 上をもう少し詳細に見ましょう。
> 「aの近傍で定義される」は、きちんと書くと

確認なのですがこのaはR*の元ではなくRの元なのですよね?

> ∃r>0 ∀x (|x-a|<r ⇒ f(x)が定義される)
> で、f*は自然延長ですから当然に
> ∃r>0 ∀x (|x-a|<r ⇒ f*(x)が定義される)
> です。

f*で書かねばならないのですね。

> そして
> monad(a)⊆{x| |x-a|<r}
> ですから、x≒aならf*(x)は定義されます。

有難うございます。

所で,勾配の定義について実は疑問があります。
[定義5]実数Sが実関数fのaでの勾配とは任意の0でない無限小超実数dxに対し,
S=st((f(a+dx)-f(a))/dx)が成立する事である。
この場合,a∈Rでdx∈R*＼Rでa+dx∈R*＼Rだと思います。それを踏まえてf(a+dx)と書かれていますのでfは実関数ではなく超実関数ではないのでしょうか?

回答No.8

rinkun

ANo.7への補足から
> f:R→R
> x∈R*^nをx=(x1,x2,…,xn) (x1,x2,…,xn∈R)と表す時,
> f*:R*^n→R*^nにおいてf*(x)をf(x)=(f(x1),f(x2),…,f(xn))
> と定義する

うーん、
　f:R^n→R
ですかね? あとは
　x∈R^nをx=(x1,x2,…,xn) (x1,x2,…,xn∈R)と表す時,
　f*:R*^n→R*においてf*(x)=f(x1,x2,…,xn)
　と定義する。
なんか書いていてバランスが悪いですね。
　f*:R*^n→R*において、x∈R^nについてはf*(x)=f(x)
というくらいで十分な感じもします。
なお、一般化して値域がR^mな場合についてはfをベクトルに並べて考えれば良いでしょう。

ANo.7へのお礼から
> 自然延長f*とはfの定義域RをR*に拡大した写像と解釈していいのですね。

まあそういうことです。定義域と同時に値域もR*に拡大されますけど、f*をRに制限すればfになります。

お礼

> ANo.7への補足から
：
> まあそういうことです。定義域と同時に値域もR*に拡大されますけど、f*をRに制限
> すればfになります。

有難うございます。お蔭様で納得できました。m(＿ ＿)m

回答No.7

rinkun

ANo.6へのお礼から
> [定義5]実数S*が実関数fのa*での勾配とは任意の0*でない無限小超実数dxに対し,
> {S*}={st((f*(a*+dx)-f*(a*))/dx)*∈R;(R*＼{0}∋)dxが無限小超実数}
> が成立する事である。
> [定義6]fのa*での勾配が存在する時,fはa*で微分可能だと言う。
ではなく
< [定義5]実数Sが実関数fの実数aでの勾配とは
> {S}={st((f*(a*+dx)-f*(a*))/dx)∈R;(R*＼{0}∋)dxが無限小超実数}
> が成立する事である。
> [定義6]fのaでの勾配が存在する時,fはaで微分可能だと言う。
です。
# 今回は敢えて実数aとその超実数像a*を区別しました

定義は、実関数fの実数aおける勾配S(実数)や、実関数fの導関数f'(実関数)を、自然延長である超実関数f*と無限小超実数を使って定義しているのです。
勾配や導関数を定義する対象(f、a)や(定義された)もの(S、f')自体は実関数や実数であり、超実関数でも超実数でもないことに注意してください。

お礼

ご回答誠に有難うございます。
お陰様で漸く分かってきました。

自然延長f*とはfの定義域RをR*に拡大した写像と解釈していいのですね。

補足

すいません。まだ気になるところが

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
での自然延長の定義がはっきりしません。

f:R→R
x∈R*^nをx=(x1,x2,…,xn) (x1,x2,…,xn∈R)と表す時,
f*:R*^n→R*^nにおいてf*(x)をf(x)=(f(x1),f(x2),…,f(xn))
と定義する

???

と解釈したのですが間違ってますでしょう?

回答No.6

rinkun

ANo.5へのお礼から
> 単集合になる事(つまり任意の0でない無限小超実数dxに対しSが唯一つしか存在しない)はどうしていえるのでしょうか?

定義を良く確認してください。実関数fが実数aにおいて勾配を持つと言うことは一つの実数Sがあって、任意の無限小超実数dxに対して
　S=st((f*(a+dx)-f*(a))/dx)
が成り立つことです。
無限小dxの取り方によってSが違ってしまうようでは勾配とは言えないのです。勾配が存在する以上は無限小dxの取り方によらずst((f*(a+dx)-f*(a))/dx)は同じ値になります。

> う゛っここでまた疑問が「a*」とはどういう意味なのでしょうか?
> aはRの元ですよね?

ああ無限小解析ではR⊆R*でしたね。それならaのままで良いです。記法の違いで混乱させてすみません。この回答では修正しておきました。
言い訳すると、他の手法の超準解析では単純にRをR*の部分集合とはせずに単射
　*:R→R*
によりRをR*に埋め込むことで同一視することがあります。この場合、Rの元aをR*の元として見ることを明示するときにはa*と記載するのです。

> いままでf*下で議論してきたのでは。。。?
> [定義5]実数Sが超実関数f*のa∈Rでの勾配とは任意の0でない無限小超実数dxに対し,
> S=st((f*(a+dx)-f*(a))/dx)が成立する事である。
> [定義6]f*のaでの勾配が存在する時,f*はaで微分可能だと言う。
> ですよね。

違いますよ。実関数fの実数aでの勾配を、fの自然延長である超実関数f*と標準部分関数stを使って定義しているのです。
超実数や超実関数は主役ではなく、実数や実関数を扱うための道具です。
実関数の自然延長ではない超実関数については勾配や導関数を定義していないことに注意しておきましょう。

お礼

ご回答大変有難うございます。

> 定義を良く確認してください。実関数fが実数aにおいて勾配を持つと言うことは一つ
> の実数Sがあって、任意の無限小超実数dxに対して
> 　S=st((f*(a+dx)-f*(a))/dx)
> が成り立つことです。

(R∋)Sがfのa(∈R)での勾配である
⇔
{S}={st((f(a+dx)-f(a))/dx)∈R;(R*＼{0}∋)dxが無限小超実数}

という意味だったのですね。おかげ様で納得できました。

> 無限小dxの取り方によってSが違ってしまうようでは勾配とは言えないのです。勾配
> が存在する以上は無限小dxの取り方によらずst((f*(a+dx)-f*(a))/dx)は同じ値にな
> ります。

これなら安心です。

> ああ無限小解析ではR⊆R*でしたね。それならaのままで良いです。記法の違いで混乱
> させてすみません。この回答では修正しておきました。
> 言い訳すると、他の手法の超準解析では単純にRをR*の部分集合とはせずに単射
> 　*:R→R*
> によりRをR*に埋め込むことで同一視することがあります。

自然な流れですね。

> この場合、Rの元aをR*の
> 元として見ることを明示するときにはa*と記載するのです。

a*は埋め込みのaに対する像の事でしたか。了解致しました。

> 違いますよ。実関数fの実数aでの勾配を、fの自然延長である超実関数f*と標準部分
> 関数stを使って定義しているのです。
> 超実数や超実関数は主役ではなく、実数や実関数を扱うための道具です。
> 実関数の自然延長ではない超実関数については勾配や導関数を定義していないことに
> 注意しておきましょう。

ええと、すいません。この2つの厳密な定義が完全に把握しきれてません。

[定義5]実数Sが実関数fのaでの勾配とは任意の0でない無限小超実数dxに対し,
{S}={st((f(a+dx)-f(a))/dx)∈R;(R*＼{0}∋)dxが無限小超実数}
が成立する事である。
[定義6]fのaでの勾配が存在する時,fはaで微分可能だと言う。

でのfは実際は自然延長になっているので(でないとf(a+dx)とかが定義されない)厳密にはこの定義は

[定義5]実数S*が実関数fのa*での勾配とは任意の0*でない無限小超実数dxに対し,
{S*}={st((f*(a*+dx)-f*(a*))/dx)*∈R;(R*＼{0}∋)dxが無限小超実数}
が成立する事である。
[定義6]fのa*での勾配が存在する時,fはa*で微分可能だと言う。

と書けばいいのでしょうか?

回答No.5

rinkun

ANo.4へのお礼から
> st((f*(a+dx)-f*(a))/dx=st((f*(a+dx')-f*(a))/dx')

難しく考えすぎです。この一致は勾配の定義に含まれます。
質問文の
> [定義5]実数Sが実関数fのaでの勾配とは任意の0でない無限小超実数dxに対し,
> S=st((f(a+dx)-f(a))/dx)が成立する事である。
をもう一度確認しましょう。
# これの式は厳密に書くと
# S=st((f*(a*+dx)-f*(a*))/dx)
# になるが

そもそも勾配の定義は超実関数に対するものでなく実関数に対するものです。微分についても同様で、これらは超実関数に対して使えるものではありません。

お礼

遅くなりまして申し訳有りません。あれからまた考えておりました。

>> st((f*(a+dx)-f*(a))/dx=st((f*(a+dx')-f*(a))/dx')
> 難しく考えすぎです。この一致は勾配の定義に含まれます。

勾配の定義は
[定義5]実数Sが超実関数f*のa∈Rでの勾配とは任意の0でない無限小超実数dxに対し,
S=st((f*(a+dx)-f*(a))/dx)が成立する事である。
[定義6]f*のaでの勾配が存在する時,f*はaで微分可能だと言う。
ですよね。
定義5をよく見てみると「任意の…」とありますよね。
つまり、{st((f*(a+dx)-f*(a))/dx)∈R;(0≠)dxは無限小超実数}は単集合になるという事ですね。
単集合になる事(つまり任意の0でない無限小超実数dxに対しSが唯一つしか存在しない)はどうしていえるのでしょうか?

お手数お掛けしまして申し訳有りません。
この「任意の0でない無限小超実数dxに対しa∈Rの勾配Sが唯一つしか存在しない」が示せれば本質問は全て解決致します。なにとぞご教示ください。

> 質問文の
> > [定義5]実数Sが実関数fのaでの勾配とは任意の0でない無限小超実数dxに対し,
> > S=st((f(a+dx)-f(a))/dx)が成立する事である。
> をもう一度確認しましょう。
> # これの式は厳密に書くと
> # S=st((f*(a*+dx)-f*(a*))/dx)
> # になるが

う゛っここでまた疑問が「a*」とはどういう意味なのでしょうか?
aはRの元ですよね?

> そもそも勾配の定義は超実関数に対するものでなく実関数に対するものです。微分に
> ついても同様で、これらは超実関数に対して使えるものではありません。

えっ!
いままでf*下で議論してきたのでは。。。?
[定義5]実数Sが超実関数f*のa∈Rでの勾配とは任意の0でない無限小超実数dxに対し,
S=st((f*(a+dx)-f*(a))/dx)が成立する事である。
[定義6]f*のaでの勾配が存在する時,f*はaで微分可能だと言う。
ですよね。

回答No.4

rinkun

> "超実関数f*がa∈Rで微分可能である⇒(2)"を示す。
> ここで商(f(a+dx)-f(a))/dxが有限超実数である事がどうしても言えません。

微分可能なら勾配が存在します。勾配は標準実数なので、それに近い(f(a+dx)-f(a))/dxは有限でなければなりません。

お礼

遅くなりまして申し訳有りません。

>> "超実関数f*がa∈Rで微分可能である⇒(2)"を示す。
>> ここで商(f(a+dx)-f(a))/dxが有限超実数である事がどうしても言えません。
> 微分可能なら勾配が存在します。勾配は標準実数なので、それに近い
> (f(a+dx)-f(a))/dxは有限でなければなりません。

有難うございます。下記の通り,有限でなければならない事が分かりました。

"⇒(2)"を示す。
微分可能なので勾配∃st((f*(a+dx)-f*(a))/dx)∈R.
標準部分の定義より,st((f*(a+dx)-f*(a))/dx)の原像(f*(a+dx)-f*(a))/dxは有限超実数でなければならない。
また,((f*(a+dx)-f*(a))/dxと((f*(a+dx')-f*(a))/dx'(dxとdx'は0でない無限小超実数)において
((f*(a+dx)-f*(a))/dx∈{((f*(a+dx)-f*(a))/dx∈R*;((f*(a+dx)-f*(a))/dx-0:有限}
((f*(a+dx')-f*(a))/dx'∈{((f*(a+dx')-f*(a))/dx'∈R*;((f*(a+dx')-f*(a))/dx'-0:有限}
⇔
((f*(a+dx)-f*(a))/dx,((f*(a+dx')-f*(a))/dx'∈galaxy(0)
(galaxy(0):={y∈R*;x-yが有限})
((f*(a+dx)-f*(a))/dx=((f*(a+dx)-f*(a))/dx-0:有限　より
0∈galaxy(((f*(a+dx)-f*(a))/dx)
((f*(a+dx')-f*(a))/dx'=((f*(a+dx')-f*(a))/dx'-0:有限 より
0∈galaxy(((f*(a+dx')-f*(a))/dx')
命題「2つの銀河は一致するか共通点を持たない」より
galaxy(((f*(a+dx)-f*(a))/dx)=galaxy(((f*(a+dx')-f*(a))/dx')
、、、

まで来たのですがこれからどうしても
st((f*(a+dx)-f*(a))/dx=st((f*(a+dx')-f*(a))/dx')
に辿り着けません。
monadでもst(((f*(a+dx)-f*(a))/dx)=st(((f*(a+dx')-f*(a))/dx')には辿り着けそうもないです。
どのようにして
"超実関数f*がa∈Rで微分可能である"
から
st(((f*(a+dx)-f*(a))/dx)=st(((f*(a+dx')-f*(a))/dx')は導けますでしょうか?

回答No.3

rinkun

ANo.2のお礼
> [定義5]実数Sが実関数fのaでの勾配とは任意の0でない無限小超実数dxに対し,
> S=st((f(a+dx)-f(a))/dx)が成立する事である。
> この場合,a∈Rでdx∈R*＼Rでa+dx∈R*＼Rだと思います。それを踏まえてf(a+dx)と書かれていますのでfは実関数ではなく超実関数ではないのでしょうか?

これは
　S=st((f*(a+dx)-f*(a))/dx)
が正解でしょう。

ところでANo.2は間違っていました。
ANo.2では通常数学での微分可能性との同値性を述べましたが、無限小解析の流儀では微分の定義は「勾配の存在」ですね。
それを使うと(1)の証明は次のようになります。
f'(a)の存在から、[定義7]よりaで勾配が存在し、[定義5]より任意の無限小dxに対してS=st((f(a+dx)-f(a))/dx)が存在、従ってf(a+dx)が存在する。
これからx≒aなるxについてf(x)の存在が言える。

お礼

> これは
> 　S=st((f*(a+dx)-f*(a))/dx)
> が正解でしょう。

有難うございます。大変参考になります。

> ところでANo.2は間違っていました。
：
> これからx≒aなるxについてf(x)の存在が言える。

少しずつ分かってきました。

"超実関数f*がa∈Rで微分可能である⇒(1)"を示す。
f*がa∈Rで微分可能なので(R*＼{0}∋)∀dx:無限小超実数,
st((f*(a+dx)-f*(a))/dx)∈Rが成立する。
これが成立するからにはf*(a+dx)とf*(a)も当然定義されてねばならない。
即ち,f*(a+dx)∈R*,f*(a)∈R*でなければならない。
従って,A:={a+dx∈R*;(R*∋)dxは無限小超実数}=monad(a)
(∵∀a+dx∈A,a+dx-a(=dx)は無限小超実数(∵仮定)。∴a+dx≒a ∴a+dx∈monad(a)
逆に∀x+dx∈monad(a)(xは無限小超実数(∵monadの定義))を採るとx+a∈A)
∴ x≒aなる全ての超実数xでf*(x)は定義されている
次に
"超実関数f*がa∈Rで微分可能である⇒(2)"を示す。
ここで商(f(a+dx)-f(a))/dxが有限超実数である事がどうしても言えません。
有限超実数であることはどのようにして示せますでしょうか?

回答No.1

koko_u_

とりあえず、実関数 f に対して、「f(x)が超実数 x ∈ R* に対して定義されている」の定義が不明だと思われます。

お礼

ご回答誠に有難うございます。遅くなりまして申し訳有りません。

> とりあえず、実関数 f に対して、「f(x)が超実数 x ∈ R* に対して定義されてい
> る」の定義が不明だと思われます。

fをR*にも自然に拡大した写像f*に於いてf*(x)∈R*が存在するようにしているという事が"R*に対して定義されている"という意味だと思われます。