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物理I 摩擦力を介した2物体の運動 水平面に対して
角θ傾いた広い斜面がある。図のように,斜面上に質量m1の平面Aをおき,さらにAの上に質量m2の小板Bをおき,両者が動かないように支えておく。支えを静かにはずした とき,斜面の上をAが,またAの上をBがそれぞれ下方にすべり出した。斜面とAの間,およびAとBとの間の動摩擦係数をそれぞれμ1,μ2とする。 (2) 斜面に平行な方向のAの加速度を求めよ。 (3) すべり出してからt秒後に,BがAの上を移動した距離lを求めよ。 それぞれの問いの答えをお教え下さい。 ※(1)が飛んでる気がするのですが...もし回答に足りなければおっしゃって下さい。
- tetsuya_aq
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力が錯綜しているので、迷わないように。 斜面に沿って下向きにx軸,斜面に垂直で左上向きにy軸を取ってみる。 順序が逆のように思うかも知れないが、まずは、最も上に載っているBについて考える(解析が楽になるから)。 Bに作用している力は、接触しているAから受ける接触力と自身の重力(遠隔力)しかない。 Aから受ける接触力は 垂直抗力 N2(y軸方向) 動摩擦力 -μ2・N2(x軸の負の向き。A上を左下に向かって下がっているので、動摩擦力は、これを妨げる向きに働くはずだから) Aも動いているから、摩擦力はその影響を受けそうに思うかも知れないが、動摩擦力は、物体の速度とは無関係なので、Aの運動を組み込む余地は無い。 重力 m2・g 鉛直下向き。 x,y軸方向の成分に分けると x軸方向成分=m2・g・sinθ y 〃 =-m2・g・cosθ 加速度は斜面に沿って下向きつまりx軸方向に生じるので、これをβとすると、運動方程式は m2・β=m2・g・sinθ-μ2・N2 y軸方向では力が釣り合っているので N2-m2・g・cosθ=0 ∴ N2=m2・g・cosθ これを使うと、運動方程式は m2・β=m2・g・sinθ-μ2・… ∴β=… Aに作用している力。接触力は 床からの垂直抗力 N1(y軸方向) 床からの動摩擦力 -μ1・N1(x軸の負の向き。Aの運動を妨げる向き。) Bからの垂直抗力 -N2(y軸の負の方向の力。AがBから受ける垂直抗力の反作用なので、同じ大きさで向きが逆) Bからの動摩擦力 μ2・N2(x軸の正の向き。AがBから受けた動摩擦力の反作用なので、同じ大きさで向きは逆) 自身の重力(遠隔力) m1・g 鉛直下向き。 x,y軸方向の成分に分けると x軸方向成分=m1・g・sinθ y 〃 =-m1・g・cosθ 加速度は斜面に沿って下向きつまりx軸方向に生じるので、これをαとすると、運動方程式は m1・α=μ2・N2+m1・g・sinθ-μ1・N1 y軸方向では力が釣り合うから N1-N2-m1・g・cosθ=0 N2=m2・g・cosθ だったので N1=m2・g・cosθ+m1・g・cosθ=(m1+m2)・g・cosθ これらを使うと、運動方程式は m1・α=μ2・m2・g・cosθ+m1・g・sinθ-μ1・(m1+m2)・g・cosθ =g{m1・(sinθ-μ1・cosθ)+m2・cosθ・(μ2-μ1)} ∴α=g{(sinθ-μ1・cosθ)+(m2/m1)・(μ2-μ1)・cosθ} AからBを見たときの相対加速度γは γ=β-α =g(sinθ-μ2・cosθ)-g{(sinθ-μ1・cosθ)+(m2/m1)・(μ2-μ1)・cosθ} =((m1+m2)/m1)・(μ1-μ2)・… BがAに対して、滑り降りる距離Lは(1/2)γ・t^2 だから L=(1/2)・…・t^2
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