割り算について成り立つ等式

質問

多項式Aをx^3+2で割ると,商がx^2-x+3で,余りが2x^2+5である。多項式Aをx^2-x+3で割ったときの商と余りを求めよ。
で、解いていくと2x^2+5が、2(x^2-x+3)+2x-1になる理由が分かりません。逆に2(x^2-x+3)+2x-1が2x^2+5になるのは、分かってます！

回答No.3

statecollege

>解いていくと2x^2+5が、2(x^2-x+3)+2x-1になる理由が分かりません。逆に2(x^2-x+3)+2x-1が2x^2+5になるのは、分かってます！

質問の意図は
2x^2+5=2(x^2-x+3)+2x-1
が成り立つことは、右辺を展開すると左辺が得られるので理解できるが、左辺から右辺をどうやって導いたのかがわからない、ということだと私は理解しましたが、正しいでしょうか？したがって、私の回答(ANo.1）では、多項式の割り算（整式の除法）を用いて左辺の2x^2+5をx^2-x+3で割って計算し、商が２となり、余りが2x-1となることを確かめればよいと書いたのです。

では--ここが大事な点ですが--質問者はなぜx^2-x+3で左辺の2x^2+5を割る必要があるのか理解できているのでしょうか？

回答No.2

alice_44

質問の意図が不明。
L=R と R=L は、常に同値です。
「になる」という語感に幻惑されていませんか？

回答No.1

statecollege

多項式の割り算の仕方は知っていますよね！

2x^2+5をx^2-x+3で割ってごらんなさい。商は２、余りは2x-1となるでしょう。したがって、

2x^2+5 = 2(x^2-x+3) + (2x-1)

となるのです。７を３で割ると、商は２で、余りが１となるので、7 = ２×３＋１と書けるのと同じです。したがって、

A = (x^3 + 2)(x^2 - x + 3) + 2x^2 + 5
= (x^3 + 2)(x^2 - x + 3) + 2(x^2 - x + 3) + 2x -1
= (x^2 - x + 3)(x^3 + 2 + 2) + 2x - 1
= (x^2 - x + 3)(x^3 + 4) + 2x -1

したがってAをx^2-x+3で割ったときの商はx^3+4で、余りは2x-1となる。