数学２ 除法の原理について

質問

こんばんはー。
以前にも除法の原理について質問したんですが、
結局理解できなかったので、また質問させていただきます。

まず、除法の原理とは、
多項式f(x)を多項式g(x)で割った商をQ(x)、余りをR(x)とすると

f(x)=g(x)Q(x)+R(x)

つまり割る式＊商＋余り。

ただし余りの次数は割る式より小さい。

これが除法の原理ですよね。
で、これを使って下の問題を解こうとしたんですが、
途中でどう計算すればいいのかわからなくなりました。

（問題）

多項式f(x)を(x - 1)^2 (x + 3)で割ったときの余りが
2x^2 - 5x + 1 のとき、f(x)を(x　-　1)^2で割ったときの
余りを求めよ。

まず、
f(x)=(x - 1)^2(x + 3)Q(x)+2x^2-5x+1
と、こう置けますよね？
でも、これだと余りが２次式です。
除法の原理からして、１次式にしなくちゃいけないと考えます。
で、ここからが僕のわからないところなんです。
参考書には、

この2x^2-5x+1を１次式にするには
(2x^2-5x+1) ÷　(x-1)^2　　を計算します。

と書いてあるのです。
１次式にするのになぜ(x-1)^2で割らなくてはいけないのでしょうか？
というより、どこからこの(x-1)^2という数字は生まれたのでしょうか？
問題文に(x-1)^2で割ったときの余りを求めよ、と
書いてあるから(x-1)^2で割っているのですか？
僕が言いたいのは、他の数ではなくどうして(x-1)^2で割らなくちゃいけないのかということです。

長くなってしまいましたが、回答待ってます。

回答No.2

leap_day · ベストアンサー

こんにちは

(x - 1)^2(x + 3)は展開していくとx^3 + x^2 - 5x + 3になりますので３次式になります
なので余りは２次式以下になっていればO.K.です

多項式f(x)を(x - 1)^2 (x + 3)で割ったときの余りが2x^2 - 5x + 1 のとき・・・から
f(x) = (x - 1)^2 (x + 3) Q(x) + 2x^2 - 5x + 1
と置けたわけですよね？
このf(x)を(x - 1)^2で割るので
f(x) ÷ (x - 1)^2　ってことですよね？

で(x - 1)^2(x + 3)Q(x) ÷ (x - 1)^2　っていうのは割り切れますよね？(この原理は分かりますよね？）
なので残りの余り（　2x^2 - 5x + 1　）を(x - 1)^2で割ったときの余りがf(x)を(x - 1)^2で割ったときの余りになります

お礼

あなたの回答でやっとわかりました。
丁寧な回答ありがとうございます。
他の方々もありがとうございました。
ホントに助かりました～

回答No.5

pontiac_gp

前の回答でも書きましたが。
「33を7で割った余りを求めなさい」と言われたときにうっかりさんが、
「33 = 3 × 7 + 12 だから余り12だ」と答えたら貴方はなんと言いますか？
「12はまだ7で割れるじゃないか」と言いますよね。
実際12は12 = 1 × 7 + 5と書けるので正しい余りは5です。

f(x)=(x - 1)^2(x + 3)Q(x)+2x^2-5x+1 というのはこの
33 = 3 × 7 + 12 と同じ段階なんです。
一見余りに見える2x^2-5x+1は「まだ(x-1)^2で割れる」んです。

下の2つよーく見比べてください。

[1] 33 = 3 × 7 + 12 だけど
[2] 12はまだ7で割って 12 = 1 × 7 + 5とできるから
[3] 33 = ( 3 + 1 ) × 7 + 5 よって余り5なんです。

同様に、
[1'] f(x)=(x - 1)^2(x + 3)Q(x)+2x^2-5x+1 だけど
[2'] 2x^2-5x+1 はまだ (x-1)^2 で割って 2x^2-5x+1 = 2(x-1)^2 - x -1 とできるから
[3'] f(x) = (x-1)^2・{(x+3) + 2 } - x - 1 よって余り-x-1 なんです。

これでだめなら私の手には負えません。

回答No.4

Okayan_T

文字式を一度離れて、数字として考えてみましょう。
「９３５」を「４５」で割った余りは３５なので、
９６５＝４５×２０＋３５ですよね。
ここで、９６５を「９」で割った余りを求めたければ、もちろん「９６５」を３で割ってもいいですが、「３×３×５＝４５」で割った余りである「６５」を「９」で割ってもいいですよね？
この例で多項式ｆ（ｘ）を「９３５」、「３」を（ｘ－１）、「５」を（ｘ＋３）だとして考えてみて下さい。
ここで「９」以外で「６５」を割るのはおかしな話で、やはり余りを求めたい具体的な数字で割るべきですよね。

回答No.3

Willyt

f(x)=(x - 1)^2(x + 3)Q(x)+2x^2-5x+1　と置くのは正解です。そうすると、この式の第一項は(x-1)^2　で割り切れるのは自明ですね。そうすると、f(x) を(x-1)^2で割ったときの余りは上式の第二項を(x-1)^2で割ったときの余りと同じ値になるではありませんか。だから『(2x^2-5x+1)÷(x-1)^2 を計算』すればいいのですよ(^_^)

回答No.1

postro

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3669596.html
↑ここですべて言い尽くされていると思いますが
これらの回答で、それでもわからない点を具体的に明らかにして質問した方がいいのではないですか？

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3669596.html

補足

前の回答でわからなかったので、また他の人に聞いたまでです。
わからない点は具体的に明らかにしたつもりです。