高１二次関数の問題です

質問

関数f(x)＝－ｘ^２＋２ｘ＋２ （a≦ｘ≦a＋１） 最大値M（a） 最小値をｍ（a）をもとめよ

これの途中まで理解できるんですが、

このグラフって上凸のグラフですよね？？
これで最小値を求める際に、二分の一を基準とするんですが、
a≦二分の一と二分の一＜aの二つに場合わけするらしいです。a≦二分の一の部分がイマイチ
わかりません

a≦二分の一の、≦だと、a=二分の一とかになったとき
定義域の両端におけるyの値が一致してしまい、
どちらを代入しても同じになってしまわないんですか？？なぜ、a＜二分の一とa=二分の一
に場合わけしないのですか

という質問に、a=1/2を取り出して、場合わけをしてもいいのですが、
a=1/2の時は、
m(a)=f(a)=f(a+1)となり、
a<1/2の時と同様に、m(a)=f(a)
と表せることに違いはないので、わざわざ場合わけをしない訳です

とありがたいことに回答をいただきました！

でも、

aは定数とする。関数 y=x²－2x＋1 (a≦x≦a＋1)について最大値をもとめよ
これにはなぜa＝二分の１とa＜二分の一とでわけるのですか

そもそも、a=1/2とa≦１/２は、a=1/2でやった場合xの変域とか普通の数字で
でてきますよね＞＜
これじゃ最小値がちがってきてしまいませんか。

もしかして、y=x²－2x＋1とf(x)＝－ｘ^２＋２ｘ＋２の違いはf(x)とyでみわけるんでしょうか・・？

回答No.1

mister_moonlight

＞aは定数とする。関数 y=x²－2x＋1 (a≦x≦a＋1)について最大値をもとめよ

先ず、y＝f(x)＝x²－2x＋1＝(x-1)＾2のグラフを書いてみる。下に凸で、軸がx-1＝0.
そうすると、次の3つの場合があることに気がつく。最大値をＭとする。
➀　a≧1の時、Ｍ＝f(a＋1)＝自分で計算しろ。
(2)　a＋1≦1　の時、Ｍ＝f(a)＝自分で計算しろ。
(3)　a＋1≧1≧a　の時、この時が君の質問に該当する。
f(a＋1)とf(a)の大きいほうが最大値になる。そこで、f(a＋1)-f(a)を計算すると、f(a＋1)-f(a)＝2aー1　となるから、2aー1≧0　と　2aー1≦0　の場合わけが必要になる。
・2aー1≧0　の時、Ｍ＝f(a＋1)　・2aー1≦0　の時、Ｍ＝f(a)となる。

＞これじゃ最小値がちがってきてしまいませんか

最小値は変わらない。やってみろ。(3)の場合の最小値は、常に0。