中学校で習得する関数の変域について

質問

中学で習得する関数の変域についてお聞きします。

一次関数の変域を求める問題です。

ａの値がプラスの場合
１関数ｙ＝２/３Ｘ－５について、次の問いに答えよ。
(1)Xの変域が－３≦X≦６のとき、ｙの変域を求めなさい。
ｙ＝２/３Ｘ－５のとき
－３≦X≦６であるとき
－７≦y≦－１（最小値≦y≦最大値）

ａの値が－の場合はどうなるのでしょうか？
１関数ｙ＝－２/３Ｘ－５について、次の問いに答えよ。
(1)Xの変域が－３≦X≦６のとき、ｙの変域を求めなさい。
ｙ＝－２/３Ｘ－５のとき
－３≦X≦６であるとき
－９≦y≦－３　
「ａにマイナスが付いていた場合」も
（最小値≦y≦最大値）でいいのでしょうか？

関数ｙ＝ａｘ＋６（ａは定数）は、xの変域が－２≦X≦２のとき、
ｙの変域が０≦ｙ≦b（ｂは定数）である。
ａ＜０のとき、ａとbの値を求めなさい。

Xの変域は－２≦X≦２
yの変域は０≦ｙ≦b
（ここで何かを入れ替えると聞いたことがありましたが・・・ハッキリとは覚えていません・・・）
続きます。

X＝－２の時　－２ａ＋６
X＝２の時　　　２ａ＋６

ａ＜０より

２ａ＋６≦ｙ≦－２ａ＋６
（この時、反対に－２ａ＋６≦ｙ≦２ａ＋６）は間違いでしょうか？

よって

２ａ＋６＝０　(1)
－２ａ＋６＝ｂ　(2)
↑の０とｂはこの場所でよいのでしょうか？

(1)よりａ＝－３
(2)よりｂ＝１２

(1)番の答えの出し方はわかるのですが、２番の計算の仕方
を教えてください。

文章が判りにくくてすみません。

新課程＆旧課程の参考書（ニューコース）で関数を勉強していたのですが、この変域についてはあまり詳しく書かれていませんでした。
関数特に変域関連で詳しく載っている参考書等がありましたら、教えていただけませんでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

Ａ＜Ｂ
という不等式があるとき、
両辺にマイナスの数をかけたり割ったりすると、不等号の向きが逆になって
－Ａ＞－Ｂ
になる、というのを習いませんでしたか？

具体的な数字を考えてもよいです。
１２＜３６　は正しいです。

両辺に－２をかけて
－２４＜－７２　は正しくないです。
－２４＞－７２　が正しいです。
負の数をかけたら、不等号の向きが反転します。

両辺を－１２で割って
－１＜－３　は正しくないです。
－１＞－３　が正しいです。
負の数で割ったら、不等号の向きが反転します。

では、以上のことを踏まえ、２番目の問題をやってみましょう。

＞＞＞関数ｙ＝－２/３Ｘ－５について、次の問いに答えよ。
＞＞＞(1)Xの変域が－３≦X≦６のとき、ｙの変域を求めなさい。

ｘ　＝　・・・　　の形に書き直すと、
ｘ　＝　－３／２・（ｙ＋５）

－３≦ｘ≦６　というのは、－３≦ｘ　かつ　ｘ≦６
ということです。
ということは、
－３≦－３／２・（ｙ＋５）　かつ　－３／２・（ｙ＋５）≦６
です。

ここで全部に、－２／３　をかけます。
－３／２は負の数ですから、不等号は反転させないといけません！！！！！

２ ≧ ｙ＋５　　かつ　　ｙ＋５ ≧ －４
ｙ　≦　－３　　かつ　　ｙ　≧　－９
－９　≦　ｙ　≦　－３

今度は、２つの不等式を、まとめてやってみましょう。
・　ｙ＝－２/３Ｘ－５　　→　ｘ　＝　－３／２・（ｙ＋５）
・　－３≦ｘ≦６
よって、
－３　≦　－３／２・（ｙ＋５）　≦　６

－２／３　をかけて
２　≧　ｙ＋５　≧　－４

５を引いて
－３　≧　ｙ　≧　－９

行儀をよくして
－９　≦　ｙ　≦　－３

というわけで、結果的に、あなたがおっしゃる
＞＞＞「ａにマイナスが付いていた場合」も
＞＞＞（最小値≦y≦最大値）でいいのでしょうか？
でよいということになりました。
無論、これは一次関数だから通用する考え方です。

不等式を解くという‘まじめな’やり方でなく、
中学の場合は、グラフの性質で解答しても、正解扱いになりますから、
それでもよいです。

具体的には、

１．
ａ＞０　のとき、グラフは左下から右上に上がっていく直線なのだから、
ｘがｘの変域の下限にあるとき、ｙも変域の下限になる。
ｘがｘの変域の上限にあるとき、ｙも変域の上限になる。

２．
ａ＜０　のとき、グラフは左上から右下に下がっていくなの直線だから、
ｘがｘの変域の下限にあるとき、ｙは逆に変域の上限になる。
ｘがｘの変域の上限にあるとき、ｙは逆に変域の下限になる。

です。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.1

noname#227064

まずは、
> １関数ｙ＝－２/３Ｘ－５について、次の問いに答えよ。
> (1)Xの変域が－３≦X≦６のとき、ｙの変域を求めなさい。
> （中略）
> 「ａにマイナスが付いていた場合」も
> （最小値≦y≦最大値）でいいのでしょうか？
についてですが、「yの最大値≦y≦yの最小値」では矛盾しています。
「xの最大値に対するy≦y≦xの最小値に対するy」とはなりますが・・・

次に、
> 関数ｙ＝ａｘ＋６（ａは定数）は、xの変域が－２≦X≦２のとき、
> ｙの変域が０≦ｙ≦b（ｂは定数）である。
> ａ＜０のとき、ａとbの値を求めなさい。
については、
> X＝－２の時　－２ａ＋６
> X＝２の時　　　２ａ＋６
と分けて書くのではなく、
-2≦x≦2
⇔-2a≧ax≧2a
⇔-2a+6≧ax+6≧2a+6
⇔-2a+6≧y≧2a+6
と変形して、0≦y≦bから、
2a+6=0
-2a+6=b
とした方がわかりやすいと思います。

> （ここで何かを入れ替えると聞いたことがありましたが・・・ハッキリとは覚えていません・・・）
これは不等号の向きのことではないですか？