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数列空間 l^2空間の可分について

l^2={ {Xn}| Xn∈C Σ|Xn|^2<+∞}   でその部分空間la^2を   la^2={ {Xn} | 有限個の Xi を除いて0} としたときla^2の閉包とl^2が等しいことを示したいのですが、la^2の閉包 ⊂ l^2は示せたのですが逆の la^2の閉包 ⊃ l^2 がどうしても分かりません閉じれば成り立つことはなんとなくイメージできるのですが どなたかお暇なときにでも良いので助けてはいただけないでしょうか?よろしくお願いします。

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  • ベストアンサー
  • adinat
  • ベストアンサー率64% (269/414)
回答No.1

証明は非常に簡単で、l^2の元{Xn}をひとつ任意にとったとき、これがla^2の元で近似できればよいのです。そこで{Xn}でn≦kのときXn、n>kのとき0となる数列の列{X'n}^(k)を考えます。^(k)は添え字だと思ってください。これがl^2の意味で{Xn}に収束するのは明らかだから、これで証明が出来たことになります。 距離空間の話だともう少しわかりやすく想像できるのではないでしょうか。すなわちA⊂Bがあってcl(A)⊃B[clは閉包とします]を示すのに、cl(A)というのはようするにcl(A)の中にAがdenseに入っているということなので、cl(A)の元はAで近似できるということです。逆に言うとAの収束列はすべてcl(A)に入ります(それが閉集合の定義のひとつでもありますよね。収束列の極限を必ず含むというのが)。

bluemoon1120
質問者

お礼

お礼をいうのが遅くなって申し訳ありません。ありがとうございました。大変よく分かりました。{Xn}に収束する点列をそんなふうに定義すればよかったなんて気づきませんでした。ありがとうございます。

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このQ&Aのポイント
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  • セリに似た野草の特徴と正体について。10月の後半に標高650の沢で発見。しかし、花の時期が異なるため、別の種類の野草と考えられる。地下茎を調べたところ、タケノコのような節構造は見つからなかった。
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