中学 数学 問題の解き方を教えてください。

質問

(1)大変わかりづらいと思うのですが、数学で出てくる
「～以上，～以下」「～未満」「～より大きい，～より小さい」
の根本的な違いがわからないので、教えてください。
具体的な数字を使ってくださると助かります。

(2)「√11より大きく√41より小さい整数」を全て求めるときのやり方を教えてください。

(3)容器にａlの水が入っている。
最初の量の1/10の量の水をくみ出し、次にまた残りの量の1/10の量を
くみ出したら、容器の中の残りは162lになった。
ａの値を求めなさい。

(4)ある整数Ａを6で割ったら商がP，余りが5であった。
また，その商Pを4で割ったら商がQ，余りが1であった。整数Aを8で
割ったときの生をQを用いて表しなさい。

(5)長さ120mの列車が時速90kmで走っている。この列車の最前部がトンネルの
手前500mに差し掛かってから，列車がトンネルを抜けきるまで2分かかった。
トンネルの長さはどれだけか。トンネルの長さをXmとして，方程式を立てて求めなさい。

(6)8％の食塩水100ｇに，水160ｇと食塩を加えたら、10％の食塩水ができた。
加えた食塩の量は何ｇか。

全て途中式アリでお願いしますm(uu)m。
解くときのコツなどもあったら教えてください。

回答No.8

wild_kit · ベストアンサー

（１）はなかなか難しいです。
自然数で９以下と書かれているならば、９・８・７・６・５・４・３・２・１です。
自然数で９未満と書かれているならば、８・７・６・５・４・３・２・１です。
『以下・以上』はその数値そのものも含めますが、『～より大きい・～より小さい・～未満』はその数値を含めません。
　これが少数を含めて考えると、やっかいなのです。
０より大きく２以下の数と書いた場合、０は含みません。
しかし、０に非常に近い０．００００００００００００～００１は含まれるのです。
これについては他の良い回答を待ちます。

　（２）自然数ａ、ｂがあった時、ａ＞ｂならば√ａ＞√ｂです。
整数ｘは√（ｘ＾２）です。
つまり１１より大きくて４１より小さいｘ＾２となる整数を見つければよいのです。
ｘが３とするとｘ＾２＝９で、条件に合いません。
ｘが４とするとｘ＾２＝１６で条件に合います。
ｘが５とするとｘ＾２＝２５で条件に合います。
ｘが６とするとｘ＾２＝３６で条件に合います。
ｘが７とするとｘ＾２＝４９で条件に合いません
　つまり求める整数は、４・５・６の３つです。

　（３）これはそのまま式に直せばよいのです。
初めａ（Ｌ）あって、その１／１０をくみ出したのであれば、残りは（９／１０）ａ
残った（９／１０）ａの１／１０をくみ出したのであれば、残りは（９／１０）｛（９／１０）ａ｝
これが１６２（Ｌ）なのだから、（９／１０）｛（９／１０）ａ｝＝１６２
ａ　＝　１６２／｛（９／１０）（９／１０）｝　＝　１６２／（８１／１００）
＝　（１６２・１００）／８１　＝　２００　従って２００（Ｌ）

　（４）Ａ＝６Ｐ＋５、　Ｐ＝４Ｑ＋１と表せます。
Ａ＝　６（４Ｑ＋１）＋５　＝　２４Ｑ＋６＋５　＝　２４Ｑ＋１１　＝　２４Ｑ＋８＋３
＝　８・３Ｑ＋８＋３　＝８（３Ｑ＋１）＋３
従って、Ａを８で割るとその商は３Ｑ＋１となる。（余りは３）

　（５）まず列車の速度を他のものに単位を合わせます。（時速＊ｋｍから分速＊ｍへ）
９０ｋｍ／ｈ＝９００００ｍ／６０ｍｉｎ　＝分速１５００ｍ
ここで図を描くと分かりやすいです。
今回は列車の最後尾に注目します。
列車の先頭がトンネルの５００ｍ手前ということは、その時点で列車の最後尾は更に１２０ｍ後ろにあります。
列車が抜けきったということは、列車の最後尾がちょうどトンネルから出たということです。
その間の距離は（Ｘ＋５００＋１２０）で、その移動に分速１５００ｍで２分かかったわけです。
ということは、（Ｘ＋５００＋１２０）＝　１５００・２　＝３０００
Ｘ＝　３０００－５００－１２０　＝　２３８０ｍです。
これは単位（分・ｍなど）に気をつけてください。

　（６）加えた塩の重さをｘとします。
初めに用意されていた８％の食塩水は、塩８（ｇ）水９２（ｇ）です。
そこに塩ｘ（ｇ）と水１６０（ｇ）を加えたら、１０％の食塩水が出来たわけです。
すると全部の重さを足したものの１０％が塩の重さとなるのですから、
（８＋ｘ）　＝　（１００＋１６０＋ｘ）／１０
８０＋１０ｘ　＝　１００＋１６０＋ｘ
（１０－１）ｘ　＝　２６０－８０　＝　１８０
９ｘ＝１８０　　ｘ＝２０（ｇ）です。

お礼

補足の問題ですが、わかりました。

とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました(^0^)

補足

ご回答ありがとうございます(^^)
数学は苦手なのですが、理解できてきました！

１つわからないところがありましたので、補足させていただきます。

(3)なのですが、
「残った（９／１０）ａの１／１０をくみ出したのであれば、残りは（９／１０）｛（９／１０）ａ｝」
とありましたが、残りは（９／１０）｛（９／１０）ａ｝の式の意味がいまいち理解できません・・・
普段{}とかも使わないので(><；)
もう一度教えていただけますか？

回答No.7

opabunmi5

度々申し訳ありません。
(2)は
√11＜√16≦a≦√36＜√41
でした。
すみません。。。

お礼

その都度ご訂正いただきありがとうございます！

回答No.6

alice_44

xはa以上　　x≧a
xはa以下　　x≦a
xはa未満　　x＜a
xはaより大きい　　x＞a
xはaより小さい　　x＜a
こういう言葉は、取り違えないように
しっかり覚えないとね。
具体例で２～３個だけ覚えても、無意味です。
それぞれ比較して、きちんと覚えてください。
数学だけの話ではない。
以下と未満の区別とか解らないと、
日常生活でも困るでしょう？

お礼

ご回答ありがとうございます。

そもそも≧と＞の違いがよくわからないので、
このように質問させていただきました。

しっかり覚えられるようにします！

回答No.5

nattocurry

更に間違えました。何度もすみません。

誤）　３より小さい：文字通り、３より大きい。４とか５とか。３は含まない。
正）　３より小さい：文字通り、３より小さい。２とか１とか。３は含まない。

お礼

ご訂正ありがとうございます。

回答No.4

opabunmi5

(1)
以上以下はその数字も含まれます。(3以上7以下ならば、34567です。3≦a≦7)
未満、より大きい、より小さいはその数字は含まれません。(3より大きく7より小さい又は7未満ならば、456です。3＜a＜7)

(2)
求める整数をaとすると、
√11＜√16＜a＜√36＜√41
となるのはわかりますか??
よって、題意を満たす整数は456です。

(3)
162リットルをaをつかって表してみてください。
1回水を汲み出した後水槽に残っている水は、9/10×aリットル。そこからさらに1/10汲み出したので、残りは(9/10×aリットル)×9/10リットル
これが162リットルなので
81/100×a=162
⇔a=200

(4)
[1]A÷6=P…5⇔A=6P+5
[2]P÷4=Q…1

[2]より、P=4Q+1
これを[1]に代入すると、
A=6(4Q+1)+5
⇔A=24Q+11
よってA÷8=(24Q+11)÷8=(24Q+11)/8
だと思います。

(5)
500m手前に差し掛かってからトンネルを抜けるまでに電車が動いた距離は、500m+X+120mなので、90000m/時×2/60時間=620m+Xとなります。
これを解くとX=2380mとなります。

(6)
加えた塩をxgとすると、
100×0.08+x=(260+x)×0.1
⇔800+100x=2600+10x
⇔x=20
よって20グラムになります。

恐らくあっていると思いますが、ご自分でも計算してみてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。

とてもわかりやすかったです！
塾の先生よりわかりやすいかも・・・

ちなみに、答えはすべて合っていました（^^)

回答No.3

nattocurry

しょっぱなで間違えました。

誤）　３より小さい：文字通り、３より大きい。４とか５とか。３は含まない。
誤）　３より小さい：文字通り、３より小さい。２とか１とか。３は含まない。

お礼

ご訂正ありがとうございます(´ё｀)

回答No.2

nattocurry

（１）
３より大きい：文字通り、３より大きい。４とか５とか。３は含まない。
３より小さい：文字通り、３より大きい。４とか５とか。３は含まない。

３以上：３と３より大きい。３は含む。
３以下：３と３より小さい。３は含む。

３未満：３より小さい、と同じ。３は含まない。

（２）
９＜１１＜１６
√９＜√１１＜√１６
３＜√１１＜４

３６＜４１＜４９
√３６＜√４１＜√４９
６＜√４１＜７

３＜√１１＜４＜５＜６＜√４１＜７

√１１より大きく、√４１より小さい整数は、４、５、６、の３つ。

（３）
最初にくみ出した量は、
a×1/10＝a/10
残った量は、
a-a/10=a(1-1/10)=a(9/10)=9a/10

次にくみ出した量は、
9a/10×1/10＝9a/100
残った量は、
9a/10-9a/100=9a(1/10-1/100)=9a(10/100-1/100)=9a(9/100)=81a/100
それが162lなので、
81a/100=162
81a=16200
a=200

(4)
A÷6＝P　余り5
書き換えると、
A=6P+15

同様に
P=4Q+1

A=6(4Q+1)+15
=24Q+6+15
=24Q+21
=24Q+16+5
=8(3Q+2)+5

Aを8で割ったときの商は、3Q+2

(5)
時速90km＝分速90×1000÷60m＝分速1500m
（トンネルの長さ＋手前500m＋列車の長さ）÷時間＝速度

(X+500+120)/2=1500
X+620=3000
X=2380

(6)
食塩水の問題では、以下のような表を使うと、大体の問題は解けます。

　　　　　　　食塩水Ａ　　＋　　食塩水Ｂ　　＝　　　食塩水Ｃ

食塩の量
　÷　＝
食塩水の量
　＝　×
食塩水の濃度

食塩水Ａの食塩の量＋食塩水Ｂの食塩の量＝食塩水Ｃの食塩の量
食塩水Ａの量＋食塩水Ｂの量＝食塩水Ｃの量
ただし、食塩水Ａの濃度＋食塩水Ｂの濃度＝食塩水Ｃの濃度という計算は間違いなので、濃度は絶対に足さないでください。

すべての食塩水において、
食塩の量÷食塩水の量＝食塩水の濃度
食塩の量＝食塩水の量×食塩水の濃度

なお、食塩は濃度100%の食塩水、水は濃度0%の食塩水と考えることができます。

この問題では、加えた食塩をｘとすると、水160ｇと食塩ｘｇを加えているので、加える食塩水の量はｘ＋１６０ｇになります。

最初に問題文に書いてある値を入れましょう。

１％を０．０１と書くことにします。

　　　　　　　食塩水Ａ　　＋　　食塩水Ｂ　　＝　　　食塩水Ｃ

食塩の量　　　　　　　　　　　　　　ｘ
　÷　＝
食塩水の量　　　１００　　　　　ｘ＋１６０
　＝　×
食塩水の濃度　　０．０８　　　　　　　　　　　　　　０．１

空いているところを、埋めていきましょう。

食塩水Ａの量と濃度がわかっているので、食塩水Ａの食塩の量は、１００×０．０８＝８

食塩水Ｂの食塩の量と食塩水の量がわかっているので、濃度はｘ／（１６０＋ｘ）

食塩水Ａと食塩水Ｂの量がわかっているので、食塩水Ｃの量は、１００＋１６０＋ｘ＝ｘ＋２６０

食塩水Ａと食塩水Ｂの食塩の量がわかっているので、食塩水Ｃの食塩の量は、ｘ＋８

　　　　　　　食塩水Ａ　　＋　　食塩水Ｂ　　＝　　　食塩水Ｃ

食塩の量　　　　　８　　　　　　　　ｘ　　　　　　　ｘ＋８
　÷　＝
食塩水の量　　　１００　　　　　ｘ＋１６０　　　　　ｘ＋２６０
　＝　×
食塩水の濃度　　０．０８　　ｘ／（１６０＋ｘ）　　　　０．１

ここで、食塩水Ｃに関しても、食塩の量＝食塩水の量×食塩水の濃度、が成り立つので、
ｘ＋８＝（ｘ＋２６０）×０．１
が成り立つ。
１０（ｘ＋８）＝ｘ＋２６０
１０ｘ＋８０＝ｘ＋２６０
９ｘ＝１８０
ｘ＝２０

ちゃんと理解してください。

理解できないところは、質問してください。

これらの問題の解き方を理解していれば解けるような似たような問題を質問すると、叩かれますよ。

お礼

ご回答ありがとうございます。

食塩水の問題の解き方のコツも教えてくださり、
助かりました！

回答No.1

ichi4645

(1)だけですけど・・・

～以下、～以上というのはその数字も含まれるということです
例えば
10以下 と言われたら
・・・９、10となり
10未満 と言われたら
・・・９

となるわけです
～より小さい、～より大きいというのは未満の方の方の部類ですね

お礼

ご回答ありがとうございます。

(1)についてよく理解できましたヾ(・ω・)