「任意の錐体の体積は柱体の1/3」を証明をしました

質問

四角錐の体積が同底面で同じ高さの直方体の1/3であることは分かりました。
このことを既知として、任意の底面の錐体の体積は柱体の1/3であることを示したいと思っています。
私の論理は

『任意の大きさの底面は微小四角形に分割でき、“任意の錐体はその微小四角形を底面とした
微小四角錐の集まりとみることができる”。
一方同じ底面の柱体は同じその微小四角形を底面とする柱体の集まりとみなせる。
１つ１つのの微小四角錐の体積は対応する微小四角柱の体積の1/3である。
よって任意の錐体の体積は柱体の体積の1/3である。』

この論理で問題ないでしょうか？
自信のないのは『“任意の錐体はその微小四角形を底面とした
微小四角錐の集まりとみることができる”』の部分です。

検証よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

普通は、底面に平行な面でスライスしますが、
底面のほうを分割しましたか。素晴らしい。
その考え方で、概ねｏｋです。四角形による
底面の分割は、底面積の定義に基づいており、
普通のやり方よりも基本的かもしれません。

ただし、「微小四角形の集まりとみる
ことができる」という部分は、
「四角形の集まりで、内と外から
ハサミウチができる」とでもしたほうが、
厳密でよいでしょう。
その両者が同じことだ～というのが、
積分の定義みたいなものです。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

「微小部分に分割しての足し合わせ」はいろいろと落とし穴があるので心配しておりました。
特に空間把握には自信がないものですから…^^;

「∫x^2dx=x^3」などの積分公式を用いない直観的なな説明を心掛けました。
とても嬉しいです。
どうもありがとうございます。

回答No.3

alice_44

平面を直線の直積と考えると、四角形を基本にしたほうが素直かなあ。
歴史的には、リーマンも、ルベーグも、矩形を基準にしている。

お礼

再度のご回答もありがございます。
やはり矩形で切る方が一般的なのですね。
大数学者になると細かい切断の形には拘らずに単純に矩形でということなのでしょうね。

底辺がグニャグニャの図形の場合はに三角形切断だとよりみっしり感が出て直観把握には良さそうですが。
どうもありがとうございます。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

考え方は、いいと思います。
細長い錐体がいっぱい集まっているイメージですよね。

ただ、四角錐を基本とするよりも、三角錐を基本にした方がいいかもしれませんね。
四角形も三角形 2つに分割するとができますし、
多角形についても三角形で分割することができるので。

微小な極限を考えているので、三角でも四角でもいいのかもしれませんが。＾＾；

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

なるほど！
三角形なら角の所や出っ張っている所などでより精度の高い近似になりますね。
いいアイデアをどうもありがとうございます。