自然数の解（ｘ，ｙ）

質問

x,yは自然数。
f(x,y)はx>=y のときは、x^2-2x+y+1で、x<yのときは、y^2-x+1である。
(1)　f(x,y)=11を満たす、(x,y)を求めよ。
　　これは、分かりました。
(2)　任意の自然数nに対して、f(x,y)=n　の解は必ず存在し、しかもそれは、ただ１つである。
　　ア．x^2-2x+y+1=nを満たすx>=yとなる解が存在するとき
　　　　　このことから、考えられる条件は、１つはｘは実数だから、判別式から、n>=y
また、x^2-2x+y+1=nとx>=yから、x^2-x-n+1>=0が導かれる。
　　イ．y^2-x+1=nを満たすx<yとなる解が存在するとき
　　　　y^2-x+1=nとx<yから、y^2-y+1-n<0となる。

　　このあと、アとイから、どうしていいのか分かりません。
　　解が存在することを示すためには何が言えればよいのかを考えましたが、自然数という条件を
　　(1)の場合は使えましたが、(2)の場合はどう使えばいいのかわかりません。
　　よろしくアドバイスをお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

おそらく小さな x, y で計算してみればいいと思うが....

存在性については, あ～だこ～だいうよりも「こうやって x と y を選べばいいよね」と具体的に見せてしまった方が早いような気がする. 一意性もそこから見えてきそう.

お礼

回答ありがとうございます。
「こうやって x と y を選べばいいよね」参考になります。
あとで、ｎで場合分けして考えればよいのかと思いました。

回答No.2

hrsmmhr

自然数m>1について
m^2-(m-2)<=n<=m^2+m+1にわけて考えます
　何故かと言えば(m+1)^2-m^2=2m+1=(m-1)+1+(m+1)とかけ、
　(m^2,(m+1)^2]の自然数は(m+1)^2-((m+1)-2)<=n<=(m+1)^2,m^2+(m+1)=>n>m^2の中に入りますから
m^2-(m-2)<=n<=m^2のときにはy^2-(x-1)：y=mとみてy=m>x>0,m-1>m-2>=x-1>=0>-1
m^2<n<=m^2+m+1のときには(x-1)^2+y：x-1=mとみてx=m+1>=y>0
で書け、
m=<1のときの残りのnは1<=n<=3の範囲であり
n=2,3はx=2,y=0,1のときに(x-1)^2+yで与えられ
n=1はx=y=1での(x-1)^2+y=1となります
重複しないのはy,x-1をmに固定した時の先の[m^2,(m+1)^2]の２分割における
x-1,yの範囲がそれぞれちょうど２分割の範囲に限定され重ならないことから言えると思います
（1<=n<=3はy^2-x+1>=4から明らかです）