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回転体の体積?
次の問題が分かりません。答えが合わないんですよ。 次の図形をx軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。 円 x^2+(y-b)^2=a^2 (0<a<b) 答えは2*π^2*a^2*bになるんですけど…。
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とある数学の問題なのですが 連立不等式 { Xの二乗+〈Y-1/2〉の二乗≦1 Y≧0 } を表す図形をX軸の周りに回転してできる回転体の 体積の求めよ。とあります 積分などを使う事は覚えているのですが、解き方を忘れてしまいました。 上記の問題の解き方と解答を教えて下さい。 よろしくお願いします。
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[問題] y=xとy=x^2で囲まれた図形をy=xのまわりに回転させた立体の体積を求めよ 普通のx軸やy軸で回転させたものならわかるのですがこれはどうやって解いたらよいのでしょうか?
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x=a,x=b(a<b),x軸,y=f(x)で囲まれる図形をx軸で回転してできる体積Vは V=π∫(a→b){f(x)}^2 dx で与えられる。 それの応用として、 (問)y=x+2,y=x^2で囲まれる図形を、y=x+2で回転してできる体積を求めよ. という問題を考える。 注;ハート型の半分を回転させることに注意 軸が傾いていることと、半ハート型の回転により、分けて積分しなければいけないので、計算がいやらしい。 ところで、xy平面上に直線lがあり、lとある曲線で囲まれる閉領域Dがある. このとき、Dをlを軸に回転してできる体積Vは V=2π∬(D)d(P)dxdy で求めてみたところ、どうやら答えが同じになる。 ここでd(P)とは xy平面上の点P(x,y)に対して d(P):=直線lと点Pとの距離 これを使うと、この問題の計算が格段に楽になる。 ただ問題なのは、この公式は正しいのか?ということである。 だれか、この公式が正しい、または間違っていること分かる方、解答をお願いします。 (lがx軸に平行なときは一致することは自分で確かめてみました)
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お礼
ご回答ありがとうございます。ようやく分かりました。