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連続体仮説について
数学の連続体仮説は証明されているんでしょうか？ 実生活にも専攻にも関係はないのですが、数学ファンとして興味があります。 どなたか教えてくださると胸のつかえがおります。 よろしくお願いします。
- Nhoyamanohota
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連続体仮説を扱った本はたくさんあるので，とにかく何か本を読んでください．たとえば， 田中一之（編）「ゲーデルと20世紀の論理学(4) 集合論とプラトニズム」（東京大学出版会） とか． ここでは，結論だけ書きます． (1) 連続体仮説は集合論の公理系のもとでは反証できないことが証明されました（1938年，ゲーデル）． (2) 連続体仮説は集合論の公理系のもとでは証明できないことが証明されました（1963年，コーエン）． (3) あらゆる伝統的な数学の分野は(1)(2)でいう「集合論の公理系」（ZFC）の枠内で展開できるので，「集合論の公理系のもとで証明（反証）できない」とは，すなわち「伝統的な数学の方法では証明（反証）できない」ことを意味します． (4) 「証明（反証）できないことを証明する」なんて，できるのか？ それはつまり「証明」そのものを数学の対象として扱う，ということで，それを可能にするのが，数理論理学という数学の一分野です．(1)(2)の結果は，数理論理学の基盤の上に構築された集合論（公理的集合論）によって成し遂げられた成果です． (5) それでは，連続体仮説は「解決」したといえるのか？ 「どちらでもよい（既存の数学と矛盾しない）とわかったのだから解決した」という見方もありますが，「真実はひとつだ，われわれはそれを見出さなければならない」という立場ももちろんあります．現在の集合論研究の最先端では「何らかの意味で自然な仮定を追加して集合論そのものを強化する（その結果として連続体仮説の真偽が決定される）」という方向の研究もなされています．
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- Tacosan
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「興味がある」というなら自分で調べればいいと思うんだけどなぁ....
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ありがとうございす。素人にも分かりやすかったです。 集合は直感的に分かりやすいので好きな分野でした。 ご丁寧な回答、重ねてお礼申し上げます。