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アークサインの微分
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違います。 1/√(x^4-1)は|x|>1でしか定義できない関数であり、さすがに違うことはすぐにわかりそうだ。 y=arcsin(x^2) とおくと x^2=sin(y) この式をxで微分すると 2x=cos(y)・dy/dx (arcsin(x))'=dy/dx=2x/cos(y) となります。
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- info22_
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#3です。 A#3の補足質問について >(2)の範囲では cos(y)>=0なので,(3)より >のあとのcos(y)がわかりません。 >なぜsin(y)が急にcos(y)になるのですか? 後続の微分を取るところ >>(3)をxで微分 >>cos(y)y'=2x …(5) >>y'=2x/cos(y) …(6) >>y'=2x/√(1-x^4)…(7) でcos(y)が出て来て(6)でcos(y)を代入消去する必要があるので、 前もってcos(x)を(3)のsin(y)から求めておくわけです。 導出は公式sin^2(y)+cos^2(y)=1 から cos^2(y)=1-sin^2(y) y=sin^-1(x^2)の値域から、|y|<π/2でcos(y)>=0なので >>cos(y)=√{1-(sin(y))^2} ←これに(3)のsin(y)=x^2を代入して >>=√(1-x^4) …(4) と cos(y)をxの式で表せる。 これを(6)に代入すれば y'の答えの式(7)が得られるわけです。
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ありがとうございました^^
- rnakamra
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#1のものです。 >(arcsin(x))'=dy/dx=2x/cos(y) ←ここ間違えていました。 (arcsin(x^2))'= が正しい >のcos(y)は今回の問題だとどのようになりますか? cos(y)≧ですので {cos(y)}^2+{sin(y)}^2=1より cos(y)=√{1-{sin(y)}^2} となります。 sin(y)=sin(arcsin(x^2))=x^2 を代入すれば cos(y)=√(1-x^4) となります。
お礼
ありがとうございました^^
- IveQA
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ANo.2 >授業で習ったものがasin(x)の微分公式1/√(1-x^2)で、asin(x^2)は初めてなのです。 なので、asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)を微分して求めました。 1)asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)から求める方法 2)y=asin(x^2)とおいてx^2=sin(y)を微分して求める方法を教えていただけますか? 1)の微分公式を使うなら、さらに合成関数の微分公式を利用。 g(x)=x^2とおいて{asin(g(x))}'=g'(x)/√{1-g(x)^2}として求める。 2)の方法はANo.1,3で回答されているので彼らに譲る。
お礼
ありがとうございました^^
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
y=sin^-1(x^2) …(1) sin^-1の定義から -π/2<=y<=π/2 …(2) sin(y)=x^2 …(3) (2)の範囲では cos(y)>=0なので,(3)より cos(y)=√{1-(sin(y))^2}=√(1-x^4) …(4) (3)をxで微分 cos(y)y'=2x y'=2x/cos(y)=2x/√(1-x^4) したがって、 > 1/√(x^4-1) であってますか? は間違いです。
お礼
ありがとうございました^^
補足
ご解答ありがとうございます^^ (2)の範囲では cos(y)>=0なので,(3)より のあとのcos(y)がわかりません。 なぜsin(y)が急にcos(y)になるのですか?
- IveQA
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残念! asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)から求めた? それともy=asin(x^2)とおいてx^2=sin(y)を微分して求めた? 途中計算を補足欄にでも書いてくれればチェックするよ。 (asinはsinの逆関数でsin^(-1)のこと。)
お礼
ありがとうございました^^
補足
ご解答ありがとうございます^^ 授業で習ったものがasin(x)の微分公式1/√(1-x^2)で、asin(x^2)は初めてなのです。 なので、asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)を微分して求めました。 1)asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)から求める方法 2)y=asin(x^2)とおいてx^2=sin(y)を微分して求める方法を教えていただけますか? よろしくお願いいたします。
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お礼
ありがとうございました^^
補足
ご解答ありがとうございます^^ 最後の式の (arcsin(x))'=dy/dx=2x/cos(y) のcos(y)は今回の問題だとどのようになりますか? よろしくお願いいたします。