偏微分と媒介変数？を使った証明

質問

力学のある問題で困っております。

z=ｆ（x+ay）+g（x-ay）　　「ｆ，gは関数で、（　）内はその変数の値のこと」

のとき

（a^2）・∂^2z/∂x^2　＝　∂^2z/∂y^2　を示せ。　

です。

様々挑戦してみたのですが、媒介変数を利用した微分記号の扱いがうまくいかず、途中で行き詰まります。どなたかわかりませんでしょうか？

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

関数f, g の独立変数を s, t
独立変数に入力される関数を

u=x+ay, v=x-ay

などとすると判りやすいかもしれません。

合成関数の微分則から
例えば ∂f(u)/∂x = (df/ds)(∂u/∂x)
同様にして2次の偏微分は1次に偏微分の偏微分なので
(∂^2 f(u))/(∂x^2) = (d^2 f/ds^2)(∂u/∂x)(∂u/∂x) + (df/ds)(∂^2 u/∂x^2)
= (d^2 f/ds^2)(∂u/∂x)^2
＃(∂^2 u/∂x^2)　= 0 なので

gに関しても同様にしてもとめ、u, v に関する偏微分を具体的に求めれば
解にたどり着きます。

補足

みなさん種々の回答ありがとうございます。いただいた知識をもとに解をかきましたので、確認していただければと思います。

u=x+ay
v=x-ay とおく。

左辺（a^2を外して）
∂^2z/∂x^2
=∂/∂x (∂z/∂x)
=∂/∂x (∂z/∂f(∂f/∂x)+∂z/∂g (∂g/∂x))
=∂/∂x (∂f/∂x + ∂g/∂x)
=∂/∂x (∂u/∂x ∂f/∂u + ∂v/∂x ∂g/∂v) 「合成関数の微分法？」

=∂/∂x (∂f/∂u + ∂g/∂v)

∂f/∂u =f' , ∂g/∂v =g' と置き換えて

=∂/∂x (f'+g')
=∂f'/∂x + ∂g'/∂x
=∂u/∂x ∂f'/∂u + ∂v/∂x ∂g'/∂v
=∂f'/∂u+∂g'/∂v

f',g'を展開
=∂/∂u (∂f/∂u) + ∂/∂v (∂g/∂v)
=∂^2f/∂u^2 + ∂^2g/∂v^2

a^2をかけて
=a^2(∂^2f/∂u^2 + ∂^2g/∂v^2)

右辺も同じやり方をすると、一致します。
自分の知識ではこのやり方になりました。どこか異常はないでしょうか？

回答No.3

heboiboro

#2ですが、質問文を読み違えて、二階微分を出さないといけないのを見落としていました。
以下、#2で書いたuとvの定義を使います。

たとえば ∂^2f(u(x,y))/∂x^2 の項を計算するには、まず ∂f(u(x,y))/∂x を計算します。これは先ほど書いたように、 df(u)/du です。
これは実は、df(u)/du|_{u=u(x,y)} あるいは f'(u(x,y)) と書いた方が正確です。つまり、fの導関数にu(x,y)を代入したものです。df(u)/duと書いたままだと最初は混乱するので以下f'(u(x,y))と書きます。
いまは二階微分が欲しいのですから、これをxで偏微分した ∂f'(u(x,y))/∂x が分かればよいです。ところがこれは、∂f(u(x,y))/∂x でfをf'に置き換えただけですから、同様に計算できます。
つまり df'(u)/du ∂u(x,y)/∂x 、すなわち f''(u(x,y)) となります。

補足

回答ありがとう御座います。上記の方法を利用した回答を、別の補足に載せました。宜しければ、確認してください。

回答No.2

heboiboro

丁寧に書いてみるために、
u(x,y)=x+ay
v(x,y)=x-ay
と定義します。
z(x,y) = f(u(x,y)) + g(v(x,y)) です。

∂z(x,y)/∂x = ∂f(u(x,y))/∂x + ∂g(v(x,y))/∂x となります。
∂f(u(x,y))/∂x には、合成関数の微分法則が適用できます。
すなわち ∂f(u(x,y))/∂x = df(u)/du ∂u(x,y)/∂x です。
df(u)/du は今はf の具体形が分からないのでそのまま残しておきます。
∂u(x,y)/∂x はuの定義より1ですね。

こんな感じで全ての項を計算していけば出るはずです。

回答No.1

Tacosan

「媒介変数を利用した」ってのはよくわからんのだけど, 「様々挑戦してみた」過程はどうなって, どこで詰まったのでしょうか?

補足

右辺を展開し、左辺を導こうとしました。

∂^2/∂y^2＝∂/∂ｙ（∂z/∂y）
　　　　　　　＝∂/∂ｙ（∂z/∂f・∂ｆ/∂ｙ+∂z/∂g・∂g/∂y）
　　　　　　　＝∂/∂ｙ（∂ｆ/∂y+∂ｇ/∂ｙ）

ここから先がわかりません。∂ｆ/∂ｙ、∂g/∂yを、なんとか変形していけば先へ進めそうな気がするのですが、どうすれば良いのかが解らない状態です。