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５種類のカードが全て出そろう確率の最大値

数学の得意な方にお伺いしたいです。 ５種類のカードがあり、その中から一枚選んで確認してから元に戻す という試行を繰り返し、全てのカードが出揃った時点でゲームが終了するとします。 この場合、何回目にゲームが終了する確率が最も高くなるのかを教えてください。 答えだけではなく計算式も教えてください。 できれば５枚以上の場合も考えたいので、一般化できればその計算方法も教えていただけると助かります。 文系大学レベルの数学は心得ております。 モンテカルロシミュレーションで解けるかなあと思ったのですが、エクセルでどう計算すれば良いかわからなくてできませんでした。

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  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.1

どの種類のカードが出る確率も1/5としていいんですよね。 n回目でゲームが終了するのは、 (n-1)回目までに４種類のカードが出揃っていて、n回目に残りの１種類のカードが出る場合です。 その確率は、 5C4*{4^(n-1)-4C3*3^(n-1)+4C2*2^(n-1)-4C1*1^(n-1)}/5^n エクセルで計算してみると、8回目のときに最大確率0.10752になります。 一般化もそれほど難しくはないでしょう。

allico
質問者

お礼

ありがとうございます。 意外と単純な式で表せるのですね。 ただ、カードの枚数が増えると結構面倒な計算が必要そうですね。

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