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持続係数
持続係数というのがあるらしいのです。例えば、４９→３６→１８→８というふうに、各位の数字を掛け合わせて、次の数字を出し、その数字の各位を掛け合わせてその次の数字とする。こうやって、最後一桁の数字が出るまで展開します。上の場合だと、３回展開しているので、４９の持続係数は３になるのだそうです。そこで、問題なのですが、持続係数が４になる最小の数は何でしょうか？しらみつぶしに探せば、たぶん７７だと思うのですが、答えは見つかりますが、何か漸化式のようなもの、あるいは公式・法則はあるのでしょうか？どなたか、ご教唆願えないでしょうか？よろしくお願い致します。
- DJ-Jerry
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alice_44 先生の補足（0で終わる場合） 0←10←25←55 0←10←52 0←20←45←59 0←20←45←95 0←20←54←69 0←20←54←96 0←30←56←78 0←30←56←87 0←30←65 0←40←58 0←40←85 以上から，あなたのおっしゃるとおり持続係数が4になる最小の自然数は77のようです。
- alice_44
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0 を忘れていました。 A No.2 の表に現れる二桁の数が少なすぎるので、 なんとなく変だとは思ったのですが。 さて、「0」が一桁の数か？というと… 「0100」を普通は四桁でなく三桁と言うことや、 桁数と常用対数の関係などを見ても、 「0」を一桁と呼んでよいかはカナリ疑問です。 とはいえ、任意の自然数に対して「持続係数」を 定義するためには、「→0」となる列も 認めたほうが都合は良さそうです。 で、「0←」も含めて表を拡げると、 55→25→10→0 となる 55 が、 持続係数 4 となる最小数のようです。
- alice_44
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シラミツブシと言っても、「持続係数」を端から計算するだけ というもの何だか悔しい。手計算で少し喰い下がってみましょう。 ４９→３６→１８→８ が例示されていれば、７７→４９ には 気がつくので、二桁の数で他に持続係数が４になるものを探します。 この問題の「→」で、数の桁が増えることはありません。 一桁の数 n 個の積は ９^n 以下だからです。 よって、「→」を逆にたどってみるとき、一桁の数２個の積に 分解できない数が出てきたら、そこから先は行き止まり or 三桁以上 なので、もうたどらなくてよいことになります。 この一点だけを手掛かりに、１～９ から逆にたどってみます。 １←１１ ２←１２←２６ ２←１２←６２ ２←１２←３４ ２←１２←４３ ２←２１←３７ ２←２１←７３ ３←１３ ３←３１ ４←１４←２７←３９ ４←１４←２７←９３ ４←１４←７２←８９ ４←１４←７２←９８ ４←４１ ５←１５←３５←５７ ５←１５←３５←７５ ５←１５←５３ ５←５１ ６←１６←２８←４７ ６←１６←２８←７４ ６←１６←４４ ６←１６←８２ ６←６１ ７←１７ ７←７１ ８←１８←２９ ８←１８←９２ ８←１８←３６←４９←７７ ８←１８←３６←９４ ８←１８←６３←７９ ８←２４←３８ ８←２４←８３ ８←４２←６７ ８←４２←７６ ８←８１←９９ ９←１９ ９←９１ これで全部。 二桁の数で持続数４のものは７７だけであることが確かめられました。
- 178-tall
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>…持続係数が４になる最小の数は何でしょうか？しらみつぶしに探せば、たぶん７７だと思うのですが、答えは見つかりますが、何か漸化式のようなもの、あるいは公式・法則はあるのでしょうか？ "persistence of a number" で検索してみても、コンピュータで「しらみつぶし」させるしかなさそうですね。 http://www.daniweb.com/software-development/c/threads/183219 "Unsolved Problems in Number Theory " にも記されているようで、規則性は解明されてないらしい。 勘定するだけならスプレッドシート上でも簡単に組めるけど、確かに不規則…。 "multiplicative persistence of a number (乗算耐久数 ？) " が 4 になる最小数は 77 。 → 参考 URL >persistence of a number
お礼
ありがとうございます。大変助かりました。かなりの難問なんですね。それがわかっただけでも、生徒に自信をもって話できますし、自分でも公式あるいは法則を見つけてやろうという気になれます。本当に、ありがとうございました。
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