数学、数列の極限の問題です。

質問

数学の問題です。

a(1)=1, a(n+1)=√a(n)+1の極限はどうやって求めるのでしょうか。
ちなみにルートは最後までかぶさってます。

回答No.3

springside

No.2の者です。

絶対値記号を使って、こうした方がいいですね。

|a(n+1)-α|=|√{a(n)+1}-α|
=|a(n)+1-α^2|/{√(a(n)+1)+α}　∵α>0
=|a(n)-α|/{√(a(n)+1)+α}　∵α^2=α+1（←分子にこれを用いた）

ここで、a(n)>0、α>1だから、分母=√(a(n)+1)+α>2である。
よって、
|a(n+1)-α|<(1/2)|a(n)-α|
となるから、これを繰り返し用いると、
|a(n+1)-α|<(1/2)^2|a(n-1)-α|
|a(n+1)-α|<(1/2)^3|a(n-2)-α|
|a(n+1)-α|<(1/2)^4|a(n-3)-α|
…
|a(n+1)-α|<(1/2)^n|a(1)-α|
となり、n→∞とすると、右辺→0だから、|a(n+1)-α|→0
つまり、a(n)→α=(1+√5)/2

お礼

回答ありがとうございます。
丁寧に書いてくださって光栄です。
ただ、問いに数列が有界で単調増加することが示されているので、収束することを示す必要はなかったです。すみません。書くべきでした。

回答No.2

springside

No.1さんの解答は、「もし、極限値は存在すれば、」という
暗黙の仮定が入っているので、極限値が存在するか否かも含めて
考えてみます。

α=(1+√5)/2と置くと、α^2=α+1となる。
（↑このαは、No.1さんのやり方でこっそり求めておく）

a(n+1)-α=√{a(n)+1}-α
={a(n)+1-α^2}/{√(a(n)+1)+α}
={a(n)-α}/{√(a(n)+1)+α}　∵α^2=α+1（←分子にこれを用いた）

ここで、a(n)>0、α>1だから、分母=√(a(n)+1)+α>2である。
よって、
a(n+1)-α<(1/2){a(n)-α}
となるから、これを繰り返し用いると、
a(n+1)-α<(1/2)^2{a(n-1)-α}
a(n+1)-α<(1/2)^3{a(n-2)-α}
a(n+1)-α<(1/2)^4{a(n-3)-α}
…
a(n+1)-α<(1/2)^n{a(1)-α}
となり、n→∞とすると、右辺→0だから、a(n+1)-α→0
つまり、a(n)→α=(1+√5)/2

回答No.1

spring135

極限において収束すればa(n+1)もa(n)も同じ値α(極限値)になると考えると
α=√(α+1)
α^2-α-1=0

α=(1±√5)/2
-のほうはαがマイナスになるので除外して
極限値α=(1+√5)/2

お礼

回答ありがとうございます。
数列が収束することがわかっていれば、この方法がいちばん簡単なやり方ですね。