• ベストアンサー

位数eの最小性??

お願いします!!!  a**n≡1(mod p)ならばe|n 特にe|p-1である。 という位数の証明についての質問です。 n=eq+rとおいて a**n=(a**e)**q・a**rより、a**r≡1(mod p) というところまでは理解できたのですが、 eの最小性よりr=0 というところが分かりません。 位数の最小性ってどんなことですか? どうか教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • jmh
  • ベストアンサー率23% (71/304)
回答No.1

> 位数の最小性ってどんなことですか? > 「位数の定義」を捕捉してみてください。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • フェルマの小定理と位数に関する質問です

    問題) pを素数とします。また、aをpで割り切ることのできない整数とします。 この時、a^n≡1(mod p)となる最小の正整数nをmとすると p≡1(mod m)であることを証明したいです。 証明) まず、フェルマの小定理より、 n=p-1のとき、a^n≡1(mod p)が成り立つことが分かります。 よって、n=p-1がa^n≡1(mod p)となる最小の正整数nの場合、 m=p-1なので、明らかにp-1をmで割り切ることができるため、 p≡1(mod m)である。 (ここからが分かりません。。。) 次に、n=p-1がa^n≡1(mod p)となる最小の正整数nでない場合、 つまり、m<p-1となるmが存在する場合、 そのmによって、p≡1(mod m)が成り立つことを証明したいのですが、よく分かりません。 どなたか詳しい方、ご教授お願いします。 途中までの証明も不適切(不要)でしたら指摘してください。 よろしくお願いします。

  • 位数を求める問題で、次のように考えたんですが

    <a>を位数が100の巡回群とする この部分群<a^162>の位数を求めよ 162×m≡162(mod 1000)を解けばよい 162(m-1)≡0(mod 1000) また、<a^162>の位数をnとおくと、n=m-1なので 162n≡(mod 100) は満たさなければならないため、nは100の倍数 故に、162×100=16200 162 200=32400 162×300=48600 162×400=64800 162×500=81000 よって、n=500

  • 位数を求める問題で、次のように考えたんですが

    <a>を位数が1000の巡回群とする この部分群<a^162>の位数を求めよ 162×m≡162(mod 1000)を解けばよい 162(m-1)≡0(mod 1000) また、<a^162>の位数をnとおくと、n=m-1なので 162n≡(mod 100) は満たさなければならないため、nは100の倍数 故に、162×100=16200 162 200=32400 162×300=48600 162×400=64800 162×500=81000 よって、n=500

  • 位数を求めるプログラム

    a^e≡1(mod n)を満たす最小の正の整数eを 法nに関するaの位数です。 これを法31における1、2,...、30の位数を求めるプログラムを以下のように作ったのですが 位数は31が素数なので30の約数であるはずなのですが11とか12などが出てきてしまいます。 問題のある箇所を教えてください。 #include <stdio.h> int main(void) { int h,i,j,k,n; //法31 n=31; //1の位数は1 printf("1:1\n"); for(j=2;j<n;j++){ k=1; for(i=1;i<=(n-1)/2;i++){ //j^iを求める。 k=j*k; for(h=2;h*n<k;h++); //余りが1になるものを位数とする。 if(!((k-1)%((h-1)*n))){ printf("%d:%d\n",j,i); break; } } //i<=(n-1)/2までに余りが1あまるものがなければn-1(30)を位数とする。 if(i>(n-1)/2)printf("%d:%d\n",j,n-1); } return 0; }

  • 至急お願いします。代数学の問題です。

    (1)(1+240Σ_(n=1,∞)σ3(n)・q^n)^3 - (1-504Σ_(n=1,∞) σ5(n)・q^n)^2 =(1+240X)^3 - (1-504Y)^2 ≡2^4・3^2・(5X+7Y) (mod12^3) これより、5・σ3(n)+7・σ5(n)≡0 (mod4) と≡0 (mod3) を証明せよ。 定義 Γ ⊂ SL2(R) が合同部分群 ⇔ ∃n ∈ N s.t. Γ(n) ⊆ Γ ⊆ SL2(Z) SL2(Z)=Γ(1) (level1) (2)SL2(Z) / Γ(n) = SL2(Z/NZ) を証明せよ。 (3)(2)の位数が(N^3)・Π_(P|n) (1-1/(P^2))となることを証明せよ。 よろしくお願い致します。

  • 可換群Gの二つの元a,bのそれぞれの位数m,nが

    可換群Gの二つの元a,bのそれぞれの位数m,nが 互いに素ならば、abの位数はmnである。 この証明が分からないです。 あと、位数m,nが互いに素なようになる可換群はどのようなものがあるでしょうか? 例えばmodの世界において考えると、 mod nの時、位数はn-1の約数になるので互いに素にはならないと思うのです。 そもそもが間違えているかもしれません。 優しく教えていただければ幸いです。 よろしくお願いします。

  • 巡回群について

    「Gを位数nの巡回群とする.このとき,Gの部分群の位数はnの約数で,各約数に対してただ一つ存在する.」 この証明でいくつか分からなかったので教えてください. (以下証明) G=<g>とし,m|nであるとする. ここでn/m=cとおくと,<g^c>は位数mの巡回部分群になる. また,これと異なる位数mの巡回部分群Sが存在すると仮定する. g^k∈S (kはこれを満たす最小の正整数)とすると,剰余の定理から n=qk+r (0<q∈Z,0≦r<k) となるq,rが存在する.このとき, g^r=g^(n-qk)=g^n(g^(-k))^q∈S で,kの最小性よりr=0を得る. よってn=qkとなり,Sの位数はqとなる.-(1) したがってm=qとなり,S=<g^c>.-(2) 以上より,nの約数に対して,ただひとつの巡回部分群が存在する. (証明終) この証明の最後の, (1):Sの位数はqとなる (2):S=<g^c> の部分がわかりませんでした. (1)について (g^k)^q=g^qk=g^n=e となりますが,これより「Sの位数はq」ということですか? (2)については包含関係を示しているのでしょうか? その辺がよくわかりませんでした. 長文申し訳ありませんがよろしくお願いいたします.

  • 元の位数

    Gを可換群、a∈Gの位数をn、b∈Gの位数をmとします。このとき位数がn、mの最小公倍数である元が存在することを示したいのですがabがその元でしょうか?またそれが正しいときabの位数がn、mの最小公倍数になることはどのように示したらいいのでしょうか?

  • 元の位数について

    Gを群とし,a,b∈Gとする.このとき, aの位数=5,aba^-1=b^2,b≠e とするとき,bの位数を求めよという問題です. (答え.31) b^31=eとなることは示せたのですが,位数が31であるということを言うには,31がb^m=eを満たす最小の整数であることを言わないといけませんよね. ここがうまく示せませんでした. よろしくお願い致します・

  • 離散数学の証明問題

    離散数学の証明問題 合同でないことを≡×と表します。 Pを素数とし、a≡×0(mod p)とする。また、aの位数をdとする。 このとき、次のことを示せ。 (1)整数nに対して、a^n≡1(mod p)であるならば、かつそのときに限り、d|n (2)dはp-1の約数である。 (3)整数i,jに対してa^i≡a^j (mod p)であるならば、かつそのときに限り、i≡j(mod p) (1)はFermatの小定理を使うと思うのですが、いまいち解法が浮かびません。 (2)はFermatの小定理から自明に思えますが、厳密に証明しないといけないみたいです。 (3)は証明方法がまったく分かりません。 分かる方、証明お願いします。