整列可能定理について
- 整列可能定理についての質問です。
- 整列可能定理とは、任意の集合に適当な順序を定義して整列集合とすることができることを示す定理です。
- 質問者は、「開区間(0,1)の順序を決めることで、整列集合になるのではないか」と疑問を持っています。
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整列可能定理について
(整列可能定理) Ａを任意の集合とするとき、Ａに適当な順序≦を定義して、（Ａ，≦）を整列集合とすることができる。 （順序） １．Ａのすべての元aに対してaOa ２．Ａの元a,bに対し aOb, bOa, ⇒ a=b ３．Ａの元a,b,cに対し aOb, bOc, ⇒ aOc の３つを満たすとき、ＯをＡにおける順序という。 と、松阪先生の集合・位相入門に記載されています。 整列可能定理についてＷｅｂで検索しているときに、「開区間(0,1)のような連続体濃度card(R)を持つ集合については具体的な順序のイメージを得るのは不可能」のような事が随所に書かれていました。 その話を友人としていたところ、 「開区間(0,1)について、1/2からの距離の大小について順序を決めれば全順序となり整列集合になるんじゃないの？」 と言われました。 これだと、例えば相違なる２元0.25と0.75は同じとなりますが、上の順序の定義に立ち返ってみてもこれは問題なく、開区間(0,1)のすべての元が見事整列しているように思えます。 すると、Ｗｅｂで見た「具体的な順序のイメージを得るのは不可能」という意見と整合性がとれず悩んでしまいました。 なにかこの順序の入れ方に間違いがありますでしょうか？ ご指摘いただけますようお願い致します。
- kzhd
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整列集合と順序集合を混同していませんか。 整列集合には、任意の部分集合に必ず最小元があります。 1/2からの距離の大小を順序と定めたとき、このことが言えますか？
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お礼
なるほど！ ありがとうございます！ 整列集合は「任意の部分集合に必ず最小元がある」ということを見落としていました。 確かに、部分集合として例えば(0.2,0.4)を取ると最小限が存在しませんね。 よくわかりました！ ありがとうございました！