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三次方程式の解と係数の関係で教えてください。
問題 三次方程式の解をα、β、γとするときα^3+β^3+γ^3-3αβγを求めよという問題 の解答で α^3+β^3+γ^3^-3αβγ=(α+β+γ)x(α^2+β^2+γ^2ーαβーβγーγα) という解説が説明もなくでてくるのですが、どういう考え方でそんなに簡単にでてくるのでしょうか? よろしくお願いします。
- eitomansan
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α^3+β^3+γ^3-3αβγ =(α+β)^3-3αβ(α+β)+γ^3-3αβγ ={(α+β)^3+γ^3}-{3αβ(α+β)+3αβγ} =(α+β+γ){(α+β)^2-(α+β)γ+γ^2}-3αβ(α+β+γ) =(α+β+γ){(α+β)^2-(α+β)γ+γ^2-3αβ} =(α+β+γ)(α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα) という公式があります
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- alice_44
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説明も無く出てくるのは、説明のしようが無いからです。 筋道立てて考えれば出てくるような簡単な話ではなく、 こういった式変形を思いつくには、ある程度の経験と勘が 必要です。私なら、こんな風に考えてみます。 α+β+γ と αβ+βγ+γα と αβγ を使って α^3+β^3+γ^3-3αβγ を組み立てるために、 まず、どうやって3乗を作るかを考える。 試しに、安直な (α+β+γ)^3 を展開してみると ←[1] (α+β+γ)^3 = (α^3+β^3+γ^3)+3(αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α)+6αβγ となることから、 (α^3+β^3+γ^3)-3αβγ=(α+β+γ)^3-3{αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α}-9αβγ と判る。右辺の { } 内も対称式だが、 α+β+γ と αβ+βγ+γα と αβγ を使って表せないか。 (α+β+γ)(αβ+βγ+γα) を展開してみると ←[2] (α+β+γ)(αβ+βγ+γα) = {αβ^2+βγ^2+γα^2+α^2β+β^2γ+γ^2α}+3αβγ となって、運よく { } = (α+β+γ)(αβ+βγ+γα)-3αβγ が見つかる。これを上の式へ代入して、 (α^3+β^3+γ^3)-3αβγ=(α+β+γ)^3-3{(α+β+γ)(αβ+βγ+γα)-3αβγ}-9αβγ この式の右辺は、解と係数の関係から値が求められる。 [1][2] の箇所は、やってみたら上手くいったというだけで、 そうやればよいと最初から判っていた訳ではありません。 しかし、上記の流れに沿ってみると、自然な試行錯誤だと 思えるのではないでしょうか。こういう計算を繰り返して、 経験と勘を磨いてゆけばよいのだと思います。 α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα はどうしたかって? 忘れましょう。 質問中の因数分解をパッと思いつくならば鮮やかですが、 思いつかなくても、上記のように解けます。 公式暗記なんて無意味です。
お礼
別解でわかりやすく教えていただいてありがとうございました。
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お礼
よくわかりました。ありがとうございます。