• 締切済み

解と係数の関係

 xの3次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0 の3つの解α、β、γとするとき解と係数の関係を書き、それを証明せよ。 というもんだいがあるのですが 解答をみると まず解と係数の関係を記す。 つぎに証明に入り 因数定理でa(x-α)(x-β)(x-γ)としてこれを展開して 恒等式として係数比較して。。。。。というながれがかいてあるのですが 私は解答の方法を思いつけず、 まず解と係数の関係を記す。 α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a これを変形して b=-a(α+β+γ) c=a(αβ+βγ+γα) d=-aαβγ としてはじめの3次方程式へ代入 ax^3-a(α+β+γ)+a(αβ+βγ+γα)-aαβγ=0 ここでx=α、β、γ を代入すると左辺=0=右辺となりこの方程式の解は x=α、β、γとわかる またこの方程式は3次方程式なので解の個数は高々3つ よってこの方程式の解はα、β、γのみ というふうに書いたのですがどうなんでしょうか? この問題は解がα、β、γならば α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a が成立 をしめすべきなのですが わたしの解答では α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a ならば 解はα、β、γ を示してしまっていると思います しかし「解がα、β、γのみ」と書いたので 解がα、β、γのならば α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a という逆も示せているのではないかとも思います 自分ではよくわかりませんのでどなたか教えていただきませんか?

みんなの回答

  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.6

蛇足: α、β、γの中に値が一致するものがあると、 因数定理の繰り返しによって f(x) = ax^3+bx^2+cx+d を f(x) = a(x-α)(x-β)(x-γ) と因数分解することはできません。 f(α) = 0 から f(x) = (x-α) g(x) なる多項式 g(x) が存在すると 言えたとしても、α = β であれば、f(β) = 0 から g(β) = 0 が 言えないからです。 「代数学の基本定理」の本来の形は、 複素係数代数方程式は、複素数の範囲に(必ず、少なくとも1個の) 解を持つ …です。 これと、因数定理を組み合わせると、 複素n次多項式は、n個の一次式の積に分解できる ←(*) となります。 多項式環がユークリッド環であることから、この分解の一意性も 言えます。 ここまで変形した系のほうを「代数学の基本定理」と呼んでしまう ことも多いようです。 (*) の時点で、一次因子の中に同じものがあっても構わないことから、 「重複も含めてn個」の解とか「重根」とかの概念が発生します。 だから、三次方程式 f(x) = 0 の解をα、β、γと置いた後で、 因数定理から、f(x) = a(x-α)(x-β)(x-γ) が導かれるのではなく、 代数学の基本定理から、三次式 f(x) に対して f(x) = a(x-α)(x-β)(x-γ) となるα、β、γが存在するが、このα、β、γが、方程式 f(x) = 0 の解 になっているのです。 話の順番が微妙に異なるのが、お判り頂けるでしょうか?

  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.5

他の回答の注釈: > わたしの解答では > α+β+γ=-b/a > αβ+βγ+γα=c/a > αβγ=-d/a > ならば > 解はα、β、γ  ←(1) > を示してしまっていると思います もし、本当にそうであれば、 等式変形の可逆性から、正しく > 解がα、β、γならば > α+β+γ=-b/a > αβ+βγ+γα=c/a > αβγ=-d/a > が成立 を示したことになるのですが、 残念ながら、貴方の証明は、似て非なる   α+β+γ=-b/a   αβ+βγ+γα=c/a   αβγ=-d/a   ならば   α、β、γは解  ←(2) を示してしまっているのです。 貴方は、(2) から (1) を導くために、 三次方程式の解は3個であることを使っている訳ですが、 そこで、「重根があったらどうすんだ?」というツッコミ を喰らったのが、A No.1 です。 模範解答の > 因数定理でa(x-α)(x-β)(x-γ)としてこれを展開して の部分は、この微妙な点を巧妙に回避しています。 (もっとも、文章の言い回しによっては、貴方のと同じ 間違いになってしまうのですが…)

回答No.4

>3つの解α、β、γとするとき解と係数の関係を書き、それを証明せよ。 解と係数の関係、そのものを証明しなければならないのにも拘わらず、質問者の解では。。。。。 >これを変形して、b=-a(α+β+γ) c=a(αβ+βγ+γα) d=-aαβγ これでは、初めから解と係数を前提として解いている。 つまり、十分条件である事の確認を行っているに過ぎない。 必要条件を求める事をしていない、そこが致命的誤り。

回答No.3

>>xの3次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0  の3つの解(を)α、β、γとするとき,(1)『解と係数の関係を書き』、(2)『それ』を証明せよ。 必要なことは (1)『解と係数の関係を書き』   α+β+γ=-b/a   αβ+βγ+γα=c/a   αβγ=-d/a   (2)『それ』を証明せよ。;それ=上の根と係数の関係を表す式が正しいこと! >>>・・・としてはじめの3次方程式へ代入 >>> ax^3-a(α+β+γ)+a(αβ+βγ+γα)-aαβγ=0 >>> ※ここでx=α、β、γ >>> を代入すると左辺=0=右辺となりこの方程式の解は >>> x=α、β、γとわかる >>> またこの方程式は3次方程式なので解の個数は※※高々3つ >>> ※※よってこの方程式の解はα、β、γのみ ※のところからが、惜しい。証明の流れをたどってみると・・・ 与式の係数と次の関係のあるα、β、γがある。 (α、β、γが根とは言ってない)   α+β+γ=-b/a   αβ+βγ+γα=c/a   αβγ=-d/a ↓ これが成り立つなら   ax^3+bx^2+cx+d =ax^3-a(α+β+γ)+a(αβ+βγ+γα)-aαβγ  ・・・次の2行が重要!! =a・{x^3-(α+β+γ)+(αβ+βγ+γα)-αβγ} =a(x-α)(x-β)(x-γ) と因数分解ができる。・・・(※) ↓ よってax^3+bx^2+cx+d=0ならば、 a(x-α)(x-β)(x-γ)=0 ↓ α、β、γはax^3+bx^2+cx+d=0の根 (「代数学の基本定理」;この名前は言わなくてもよいと思います) ↓ ※※※上式は方程式の根と係数の関係を正しく表している。 ※ax^3+bx^2+cx+d≠0でも、(ア)の関係が成り立っていれば、このように因数分解することができる。因数分解にいたる考え方に、 F(x)=ax^3+bx^2+cx+dで、 F(α)=0⇒F(x)=(x-α)・G1(x) F(β)=0⇒F(x)=(x-β)・G2(x) F(γ)=0⇒F(x)=(x-γ)・G3(x) ∴F(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)G1(x)・G2(x)・G(x) 与式と比較してG1(x)・G2(x)・G(x)=a ∴F(x)=a・(x-α)(x-β)(x-γ)  因数分解した式まで書けなかったことは、(x-α)・G1のように、「(x-α)を因数として取り出すことができなかった」、だから「(x-α)(x-β)(x-γ)・G(x)と書けなかった」と思われるでしょう。だから「たかだか3個」というのはごまかしとしか思われないのでは?(例えば#1さんの指摘)この因数分解した式を答えることができていないことが欠点の1つですね。※ ※※「よってこの方程式の解はα、β、γのみ」  こう答えてしまったという根底に、   数学=計算=『X=5のような「解」を出すこと』 という『思い込み』が有ると思われてしまいます。  証明は「命題が真か偽か」を答えるのであって、論証です。「解を求める」こととは違います。私なら、「解はα、β、γのみ」という表現で終わっていることから、余計に「論証について正しく理解しているのだろうか?」という不安感を持ちます。「逆が証明できている」という判断でなく、先にそのような不安感を感じてしまうのではないでしょうか。 ※※※上の説明の通り、証明:何を論証したのか。「式が正しい」ということを証明したのだから、それがわかる表現でなければと思います。※※※ 以上、私の意見は、 1)論証の流れとしては、これでも証明可能。最後の数行まで正しい。 2)最後の数行は公式的にも「因数分解」はできるはず。因数分解の式を明示できなければ『代数学の基本定理』を十分に使い切れていないと判断されるだろう。 3)『結論』が不適切。むしろ、「証明」そのものを理解していなという誤解を招く非常に損な表現である。 ということです。  模範解のように、代数学の基本定理;a(x-α)(x-β)(x-γ)=0を使って、恒等式として根と係数の関係を導き直すという道筋のほうが簡単で、きれいな証明になりますね。     

回答No.2

質問者さんが書かれている、 わたしの解答では α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a ならば 解はα、β、γ を示してしまっていると思います までは、正しいと思います。 しかし、その後の しかし「解がα、β、γのみ」と書いたので 解がα、β、γのならば α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a という逆も示せているのではないかとも思います というところがちょっとおかしいのではないかと思います。 なぜかと言うと、 質問者さんが作られた3次方程式 ax^3-a(α+β+γ)x^2+a(αβ+βγ+γα)x-aαβγ=0 の3つ解は、確かにαとβとγの3つのみです。 しかし、この方程式は「非常に特殊な」3次方程式です。 なぜなら、この方程式の3次の係数a,2次の係数b,1次の係数c,そして定数項d の間には、 きれいな関係があるからです。 それはもちろん、見ても分かるとおり、 b=-a(α+β+γ) c=a(αβ+βγ+γα) d=-aαβγ という関係です。 つまり、質問者さんが「証明した」ことは、 もし、3次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0 において、その係数や定数項a,b,c,d の間に b=-a(α+β+γ) c=a(αβ+βγ+γα) d=-aαβγ という「特殊な」関係が成り立っている場合は、 この「特殊な」3次方程式 ax^3-a(α+β+γ)x^2+a(αβ+βγ+γα)x-aαβγ=0 の解は、αとβとγの3つのみである、 ということを示しただけではないでしょうか。 それに対して、ご質問の当初の「証明すべきこと」というのは、 3次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0 について、係数や定数項a,b,c,d がどのような場合であっても、 いつでも必ず、その3つの解α,β,γに対して、 b=-a(α+β+γ) c=a(αβ+βγ+γα) d=-aαβγ という関係、つまり、 α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a という関係が成り立っている、 ということではないでしょうか。 ですから、「質問者さんの解答」と「問題集?の模範解答」とでは、 言っていることがちょっと違うのではないでしょうか、 ということなのですが、いかがでしょう?

  • koko_u_u
  • ベストアンサー率18% (216/1139)
回答No.1

方程式の解が重複していた場合について考察し、補足にどうぞ。

関連するQ&A

  • 三次方程式の解と係数の関係で教えてください。

    問題 三次方程式の解をα、β、γとするときα^3+β^3+γ^3-3αβγを求めよという問題 の解答で α^3+β^3+γ^3^-3αβγ=(α+β+γ)x(α^2+β^2+γ^2ーαβーβγーγα) という解説が説明もなくでてくるのですが、どういう考え方でそんなに簡単にでてくるのでしょうか? よろしくお願いします。

  • 虚数

    早速なのですが、 3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0・・・・・(1)があり、その1つの解αは、α=2/1+iである。(1)の3つの解α,β,γについて、α^3+β^3+γ^3=4が成り立つ時、a,b,cの値を求めよ。 という問題で、条件より、x^3+ax+(2a-2)x-2a+4=0 解と係数の関係より、α+β+γ=-a αβ+βγ+γα=2a-2 αβγ=-2a+4 これを、α^3+β^3+γ^3=4に代入したら、何度やってもaが2になってしまいます、答えを見ると、-4なんですが、計算ミスでしょうか?また、どこかおかしいところがあるでしょうか? よろしくお願いします。 Ps 違うやり方はわかります。(解説に載ってたもっとも一般的っぽいやり方)

  • xについての方程式x^3+ax^2+bx+8=0が3つの実数解α,β,

    xについての方程式x^3+ax^2+bx+8=0が3つの実数解α,β,γ(α<β<γ)を持ち、それらがある順序で等比数列をなし、また、ある順序で等差数列をなす。このとき、定数a,bおよびα,β,γの値を求めよ。 解答には、α<β<γよりα,β,γの順に並んでいる。      等差数列だから2β=αγ,等比数列だからb^2=acとなる。      等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなけ     ればならないみたいです。      これと、解と係数の関係よりα+β+γ=-a                   αβ+βγ+γα=b                    αβγ=-8を使って解くみたいなんですが、こっから代入しまくるら     しいんですが、どうに始めて最後まで解けばいいかわかりません。      わかる方いましたら、ぜひ教えてください!!お願いします!! 

  • 複素数と方程式の解

    3次方程式x^3-2x^2+x+1=0の三つの解をα、β、γとする。この時αβ、βγ、αγを三つを三つの解とするxの三次方程式を作れ。ただし、x^3の係数は1とする。 解と係数の関係よりαβ+βγ+αγ=1、αβγ=-1、α+β+γ=2。よってαβ・βγ・αγ=1。という所まで求めました。ここから先の考え方を教えて下さい。回答、よろしくお願いします。

  • 3次方程式の解と係数の関係の問題です

    近畿大で出題された問題です。 3次方程式x^3+x^2+x+1=0の3つの解をα,β,γとすると、x^3+x^2+x+1=(x-α)(x-β)(x-γ)と因数分解できるから、 α+β+γ=-1 αβ+βγ+γα=1 αβγ=1である。 また、x^4=(x^3+x^2+x+1)(x-1)+1であるから、 α^4=β^4=(?) α^5β+β^5γ+γ^5α=(?)である。 (?)の部分が分かりません。ちなみに、なぜx^4を考えているのかも分かっていません。 回答どうぞよろしくお願いします。

  • どちらの解法が普通ですか?

    問題: 「k(≠0)を実数とする。xの3次方程式(x^3) + (1 - k^2)x - k = 0 ・・・(1)が虚数解をもつとき次の問に答えよ。 (1)kの取りうる値の範囲を求めよ (2)方程式の解αβγの間に(α^3) + (β^3) + (γ^3)=-2(α^2) + (β^2) + (γ^2)・・・(2)が成立するとき、αは実数であることを示し、kの値と3次方程式の解を求めよ。」 (α^3) + (β^3) + (γ^3)=-2(α^2) + (β^2) + (γ^2)の条件式を翻訳するところについてなのですが、 解答では「(1)の式のxにそれぞれαβγを代入した3つの式、 (α^3) + (1 - k^2)α- k = 0 (β^3) + (1 - k^2)β - k = 0 (γ^3) + (1 - k^2)γ - k = 0 を立ててこの3つの方程式を次数下げの道具として用いるために3乗の部分を右辺に残して下のように整理し、 (α^3) = (k^2 - 1)α+ k (β^3) = (k^2 - 1)β+ k (γ^3) = (k^2 - 1)γ+ k この3つの式を足して (α^3) + (β^3) + (γ^3)=(α+β+γ)(k^2 - 1) + 3k ⇔(α^3) + (β^3) + (γ^3)=3k ((3)より) という式を立てて、 (2)の右辺に代入し、3(k^2 - 1)α+ 3k = -2(α^2) + (β^2) + (γ^2) という式を導いています。 それに対し私は解と係数の関係に注目し(1)から α+β+γ=0・・・(3) αβ+βγ+γα=1 - k^2・・・(4) αβγ=k・・・(5) という3つの式をたてさらに、 (α^3) + (β^3) + (γ^3) - 3αβγ=(α+β+γ)(α^2 + β^2 +γ^2 -αβ-βγ-γα) という因数分解の公式を用い、これに(3)(4)(5)を代入して、 (α^3) + (β^3) + (γ^3) - 3k=0 ⇔(α^3) + (β^3) + (γ^3)=3k という式を立てたのですがどちらが一般的で、どちらが優れていて応用性がきくのでしょうか。

  • 解と係数の関係

    参考書には、二次方程式ax-2+bx+c=0の解をα、βとすると、この式と α+β=-b/aかつαβ=c/aが同値であると書かれていたんですけど、 二次方程式において十分条件というのは、解と係数の関係の証明過程からわかるんですが必要条件をどう証明していいのかわかりません。 よかったら教えてもらえませんか?

  • 解と係数の関係

    問い:x^2+ax+b=0の2つの解の平方の和は2であり2つの解の積の比は2:1である。係数aとbを求めよ。 2つの解をα、βとおくと解と係数の関係より α+β=-a・・・「1」、αβ=b・・・「2」 題意より α^2+β^2=2・・・「3」、α+β=2αβ・・・「4」←α+β:αβ=2:1で内内外外です。 「3」⇔a^2-2b=2・・・「5」、「4」⇔-a=2bかつb≠0・・・「6」 のb≠0が理解できません。教えてください。

  • z^3=1+√3i を求める問題です。

    z^3=1+√3i を求める問題です。 解と係数の関係からα+β+γ=0, αβ+βγ+γα=0, αβγ=1+√3i として連立方程式を立てましたが、上手くいきません。 どのようにして求めるのでしょうか?アドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。

  • 2次方程式。解と係数の関係の問題

    「2次方程式x^2+ax+b=0が0でない解α、Βをもち、α^2+Β^2=3、1/α+1/Β=1が 成り立つとき、実数a、bの値を求めよ」という問題ですが、 解と係数の関係より、α+Β=-a、αΒ=b よって、α^2+Β^2=(α+Β)^2-2αΒ=a^2-2b=3 1/α+1/Β=(α+Β)/αΒ=-a/b=1より、(a、b)=(-3、3)、(1、-1)と計算できます。 答えも(a、b)=(-3、3)、(1、-1)となっていますが、 実際に(a、b)を使ってできる2次方程式は、 x^2-3x+3=0・・・・・(1)、x^2+x-1=0・・・・・(2)の2つで、 (1)について解くとx=(3±√-3)/2、(2)ついて解くとx=(-1±√5)/2となり、(1)が虚数解と なりますが、問題で、0でない実数解α、Βをもつとなっているので、虚数解でも問題ないとのこと でしょうか? ちなみに、(1)の解だと1/α+1/Β=1は成り立ちません。 α=3+√-3、Β=3-√-3とおいて、 1/(3+√-3)/2+1/(3-√-3)/2=2/(3+√-3)+2/(3-√-3)(有理化?)して (2(3-√-3)+2(3+√-3))/(3-√-3)(3+√-3)=(6+6)/(9-3)=2で成り立ちません。 出展:武蔵工大