不等式の等号成立の条件について
- 不等式の等号成立の条件について習った際、二つの解法があります。一方の解法では、(a-b)(x-y) + (b-c)(y-z) + (a-c)(x-z) ≥ 0となることを等号成立の条件とします。
- しかし、この等号成立の条件をまとめると、a=b=cまたはx=y=zとなります。
- これによって、等号の成立がa=b=cとx=y=zの二つしかなくなり、a-b=0かつy-z=0かつx-y=0やx-y=0かつb-c=0かつa-c=0のようにたくさんあるものが減ってしまうように見えます。
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不等式の等号成立の問題です
質問させていただきます 問．a≧b≧c、x≧y≧zのとき（a＋b＋c）（x＋y＋z）≦３（ax＋by＋cz） この問についてとき方は習ったとき二つあって、両方ともほぼわかったのですが、片方のとき方で等号成立の条件についてわからないところ有ります。 その解き方（一部省略しています）では、単純に右辺から左辺を引いて （a－b）（x－y）＋（b－c）（y－z）＋（a－c）（x－z）≧０ として、等号成立の条件として a-b=0またはx-y=0かつb-c=0またはy-z=0かつa-c=0またはx-y=0 ここまではわかったのですが、このあとにこれをまとめて a=b=cまたはx=y=z としていました。この最後のa=b=cまたはx=y=zへ、どうやったらこのようにまとめられるのかがわかりません。自分の考えでは、このようにまとめてしまうと等号の成立がa=b=cとx=y=zの二つしかなく、本来a-b=0かつy-z=0かつx-y=0やx-y=0かつb-c=0かつa-c=0のようにたくさんあるものを減らしているように思います。 お願いします。
- aril
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例えば 「a-b=0かつy-z=0かつx-y=0」 は a=b かつ x=y=z ですから「a=b=cまたはx=y=z」でカバーできてますね.
その他の回答 (1)
a≧b≧c、x≧y≧z でしょう？ だから、 （a－b）（x－y） も （b－c）（y－z） も （a－c）（x－z） も負ではないことがわかります。 でも、足して0になるのですから、それは全部が0のときです。 そのときの条件をみんな考えて見ます。 a=b かつ b=c かつ a=c つまり a=b=c a=b かつ b=c かつ x=z つまり a=b=c a=b かつ y=z かつ a=c つまり a=b=c a=b かつ y=z かつ x=z つまり x=y=z x=y かつ b=c かつ a=c つまり a=b=c x=y かつ b=c かつ x=z つまり x=y=z x=y かつ y=z かつ a=c つまり x=y=z x=y かつ y=z かつ x=z つまり x=y=z オシマイ。 なお、私には >a-b=0またはx-y=0かつb-c=0またはy-z=0かつa-c=0またはx-y=0 の意味がわかりません。 And と Or に優先順位がありましたっけ？私が知らないだけかもしれませんが。
お礼
すみません、問題をまちがえていました。 それに僕も優先順位はないと思います。間違えていました。
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お礼
回答ありがとうございます。 とてもわかりやすかったです。 ありがとうございました！