「おうぎ形の面積×高さ」からなる立体の解き方

質問

高校入試予想問題の解答を見ても答えしか載っていなかったので詳しい解き方を教えてください。

図のような底面が半径3cmのおうぎ形で、高さが5cmの立体があります。
この立体の体積が5πcm3のとき、立体の表面積を求めなさい。

A．（30＋16/3π）cm2

自分ではまずおうぎ形の面積を求めればいいのかと思ったのですが、半径しか情報がなく解き方がわからず・・・・
難しい専門用語等は使わずに説明してくださるとうれしいです。よろしくおねがいします。

回答No.6

67300516 · ベストアンサー

扇形の表面積をα(何でもよいのですが)と置きます。

体積が5πcm3、高さが5cmから
α×5＝5πとなるので
α(扇形の表面積)はπcm2となります。

ここで、扇形の底辺について考えます。

扇形の底辺の長さをβ(これまた何でもよいです)と置きましょう。

この扇形は面積がπcm2、高さが3cmから

扇形の面積は
β×3×1/2＝πとなります。

これを解くと
β(扇形の底辺)は2/3πcmとなります。

ここから全体の表面積を求めていきます。

(1)まず２つある底辺が3cm、高さが5cmの長方形の面積はそれぞれ15cm2だから２つ合わせて30cm2となります。

(2)次に２つある扇形の面積は先程求めた通りそれぞれπcm2であるから２つ合わせて2πcm2となります。

(3)最後に底辺が扇形の底辺になっていて高さが5cmの長方形の面積については

底辺が2/3πcm、高さが5cmであるから

2/3π×5＝10/3πcm2となります。

(1)、(2)、(3)で求めた面積を全て足し算すると、
30＋2π＋10/3π＝30＋16/3πという答えにたどり着きます。

以上です。

分かりずらいかもしれませんがご了承下さい。
m(__)m

お礼

回答ありがとうございます！
β×3×1/2＝πという式がとても良いですね。面積が簡単に求められます！
とても分かりやすくまとめていただいてありがとうございました！参考にさせていただきます。

回答No.5

tomokoich

体積が5πcm3ということから底面積（扇形の面積）は5πcm3÷5cm=πcm2であることがわかります
扇形の半径は3cmなので
半径3cmの円の面積が3^2π=9πcm2なので扇形はπ÷9π=1/9の大きさになります
よって扇形の弧の長さは6π×(1/9)=2/3πcmになります
曲面の面積は5×(2/3)π=10/3πcm2
他の側面積は5×3×2個分=30cm2
底面積はπ×2個分=2πcm2
よって表面積は
2π+(10/3)π＋30=((16/3)π+30)cm2

お礼

回答ありがとうございます！
とても分かりやすい説明です。分かってきました！
この方法でも解いてみようと思います。
素早い回答ありがとうございました！

回答No.4

ygiyurc

まず、この体積の公式は、
「底面積×高さ」ですね。
そして底面積は「πｒ2×a/360」ですね。
この二つから、底面のおうぎ形の中心角を求めてください。
（5π÷5=π（←底面積）
π＝9π×a/360
a ＝40（←中心角））

そして、おうぎ形の面積の公式は
「2πｒ×a/360」。
よって、底面のおうぎ形の面積は2/3cm2
（6π×1/9
＝2π/3）

また、底面は2つあるので、2倍して、4π/3cm2。

次に側面積です。
正面と、その左側の面積は同じです。
「底辺×高さ」で、15cm2（3×5）
また、それが二つなので、30cm2。

次に、右側の側面積。
底辺は、このおうぎ形の円周になっています。
円周の公式は、「2πr×a/360」です。
よって、2π/3cm。
（2π×3×40/360
＝6π×1/9
＝2π/3）

コレが高さ5cmだから、10/3cm2。

よって、3つの足し算で
30+14π/3

お礼

回答ありがとうございます！
中心角などの求め方があやふやだったので丁寧に書いてくださりとても分かりやすいです。
参考にして解いてみようとおもいます。素早い回答ありがとうございました！

回答No.3

noname#224621

こんばんは
半径しか分からないということは中心角が
分からないと解釈してもいいですね？
では、いきます
体積は
３×３×π×中心角（以後X）×５＝５πｃｍ３
４５πX＝５π
X＝1/9（九分の一）
３６０×1/9＝４０°
ここから中心角４０°
では表面積出していきます
３×３×1/9×π×２＝２π（上下で×２ね）・・・・・・上下の扇形
５×３×２＝３０・・・・・側面２個分
この次が山　奥の曲面の面積出すよ
曲面だけど扇の弧×高さ（この場合５で）だす
曲面を広げると長方形になるからこの式で出す
（３×２）×1/9×π＝2/3π・・・・扇の弧
2/3π×５＝10/3π・・・・曲面の面積
あとは足すだけ
10/3π＋2π＝16/3π
A．(30＋16/3π)
できた！！

こんな感じです
がんばれ受験生！！

お礼

回答ありがとうございます！
３×３×π×中心角×５＝５π　←この式を計算して代入していけばいいのですね！
扇の弧を求める式の「3×2」とは直径を求める、ということでいいのでしょうか？
素早い回答・分かりやすくまとめていただきありがとうございました！がんばります！

回答No.2

Executione

（1）体積を高さで割ると、底面の面積が分かります。
（2）3cmの半径の円の面積を求めて比較すれば、何分の一になっているか分かります。
（3）半径が３cmの円の円周を求めて、（2）の何分の一を知れば、弧の長さが分かります。
（4）弧の長さに高さをかければ、曲面の面積が分かります。
（5）側面の長方形の面積は言うまでもありませんね。

後は、やってみてください。
説明が分かりにくかったら、すみません。

お礼

回答ありがとうございます！
分かりやすい説明ありがとうございます。体積を高さで割るということが大事でしたね。気づきませんでした。
素早い回答ありがとうございました！

回答No.1

bgm38489

底面の半径３センチ高さ5センチの円柱の体積を求めよう。すると、この立体が、円柱の何分の１かがわかるはずだ。
それさえ出せば、カーズしている面の面積は求まるね。円柱のカーブしているところの面積×比率。
あとは、長方形二つ。

お礼

回答ありがとうございます！
円柱としての形を求め、おうぎ形の立体が円柱の何分の何かを使って求めるのでしょうか。
参考になりました。素早い回答ありがとうございました！