微分方程式と積分

質問

• 微分方程式の解法や置換積分についての質問です。
• 特殊解の求め方や置換積分の手順について教えてください。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

1.
「定数変化法」って、聞いたことありませんか？
斉次化した方程式の一般解のひとつと新たな未知関数の積を
もとの方程式の未知関数へ代入して、変数変換をするのです。

例えば、y' + ay = f(x) であれば、
y' + ay = 0 の一般解のひとつ e^(-ax) と新たな未知関数 u の
積を作って y = u e^(-ax) を y' + ay = f(x) へ代入すると、
u'e^(-ax) = f(x) となり、u = ∫ e^(ax) f(x) dx と解けます。
y についての一階線型微分方程式だったものが、
u' について(u ではなく)の０階微分方程式(つまり解けてる)に
なったところがミソです。

(1)
y = u e^(-x) を代入すると、u'' e^(-x) = 3 sin(2x)。
よって、u = 3 ∫∫ (e^x) sin(2x) dx dx + Ax + B。
ただし、A, B は積分定数。
右辺の積分は、sin を sinθ = { e^(iθ) - e^(-iθ) } / 2 で
変形すれば、容易に計算できます。

(2)
y = u e^(2x) を代入すると、(u'' - u') e^(2x) = x e^x。
すなわち、u'' - u' = x e^(-x)。
これに、再度 u' = v e^x を代入して、v' e^x = x e^(-x)。
よって、v = ∫ x e^(-2x) dx + A。
u' = e^x ∫ x e^(-2x) dx + A e^x だから、
u = ∫{ e^(-x) ∫ x e^(-2x) dx } dx + A e^x + B。
ただし、A, B は積分定数。
右辺の積分は、部分積分を行えば計算できます。

2.
(1)
t について部分分数分解してから、積分すればよいです。

(2)

sin^2 t cos^2 t = (1/4)(2 sin t cos t)^2 = (1/4) sin^2(2t) = (1/4)(1/2){ 1 - cos(4t) }
と次数下げしてもよいし、
やはり tan(t/2) = u と置いて、部分分数分解へ持ち込んでもよい。

お礼

ありがとうございます。
助かりました。