数学の質問

質問

整数a、b、cに対して、(4a+1)^2+(4b+2)^2=c^2 を満たすものの具体的な例を上げてくだされ

回答No.6

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それとNo.3さんの解答ですが、
x^2 + y^2 = z^2 (x, y, zは正整数)を満たす3数x, y, zが
常に正整数m, nを用いて
(m^2 - n^2), 2mn, (m^2 + n^2)を表せる「訳ではありません」。
＊反例
　x=9, y=12, z=15については9^2 + 12^2 = 225 = 15^2です。
　ここでx, y, zが(m^2 - n^2), 2mn, (m^2 + n^2)で表せると
　すると、9は奇数なので明らかに9≠2mn,
　よって12=2mn →　mn=6 → (m,n) = (6,1), (3,2) (m>nに注意)
　ですが、いずれも不適です。

正しくは
＊xとyとの最大公約数をkとすると、x/k, y/kの内一方は奇数、
　他方は偶数で、今x/kが奇数とすると
　x=k(m^2-n^2), y=k*2mn, z=k(m^2 + n^2) … (1)
　となる正整数m,nが存在する
です。この場合、4a+1が奇数であることから
yの方を4a+1とおくことは明らかに不適でなので
4a+1 = k(m^2 - n^2), 4b+2 = k*2mn, c = k(m^2 + n^2)
と置くしかないですが、真ん中の式から
k, m, nが全て奇数である必要があり、結局矛盾します。
しかし、何らかの試験で解答を書く場面では、
x, y, zが (1)の形で書ける事は証明が必要であると
思われます。