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(4a+1)^2+(4b+2)^2=c^2 を満たす整数 a,b,c は存在しない. 証明: (4a+1)^2+(4b+2)^2=c^2 について, (4a+1)^2 は奇数,(4b+2)^2 は偶数,したがって,c^2 は奇数でなければならない. また,(4a+1)^2+(4b+2)^2=c^2 により,4a+1,4b+2,c はいずれも「ピタゴラス数」でなければならない.ピタゴラス数は,(α^2)-(β^2),2αβ,(α^2)+(β^2) であり,{(α^2)-(β^2)}^2 +{2αβ}^2 ={(α^2)+(β^2)}^2 を満たす.ここで,α,βは,正の整数とする. いま,次のように置く. (α^2)-(β^2)=4b+2 ・・・(1) 2αβ=4a+1 ・・・・・・・(2) (α^2)+(β^2)=c ・・・・・(3) これは,(2)が,偶数=奇数,となり,矛盾するので,a,b,c は,整数で得られない.次に,以下のように置く. (α^2)-(β^2)=4a+1 ・・・(4) 2αβ=4b+2 ・・・・・・・(5) (α^2)+(β^2)=c ・・・・・(6) (5)より, αβ=2b+1 ・・・・・・・(7) となるので,2b+1 が奇数ですから,αβは奇数でなければならない.したがって,αとβはいずれも奇数でなければならない.αとβが奇数ならば,α^2 と β^2 も奇数である.ところが,(4)は,4a+1 が奇数なので,(α^2)-(β^2)=4a+1 は, 奇数-奇数=奇数,となり,矛盾である.なぜならば, 奇数-奇数は,偶数であり,偶数=奇数となり矛盾である. (Q.E.D.) したがって,(4a+1)^2+(4b+2)^2=c^2 を満たす整数 a,b,c は存在しない.ということが証明された.
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