- ベストアンサー
極限値についての質問です
極限値についての質問です。 lim 1/n^2 (1+2+3....+n)の極限値なのですが、この場合０になると思ったのですが答えが1/2となって n→∞ いますがどうしたら答えが1/2になるのかわかりません。基礎の質問とは思いますがご回答の方よろしくお願いいたします。
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (3)
- kitty2008
- ベストアンサー率31% (58/185)
#1#3です。 #3の回答中、1/nでなく1/2nでした。失礼しました。
お礼
重ねてのご回答ありがとうございます。また訂正の方もありがとうございます。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
なんで 0 になると思ったんでしょうか? まさか 「(1/n^2)・1 = 1/n^2, ..., (1/n^2)・n = 1/n は n→∞ で 0 になるから」 なんてことはないですよね? ひょっとして, lim (1/n)(1+1+...+1) (1 は n個) の n→∞ の極限も 0 だと思ってませんか?
お礼
ご回答の方まことにありがとうございます。 またご指摘の方ありがとうございます。おっしゃる通りです。 参考書には、n→∞でありかつ分数の時は答えが０となっていたので、横の(1+2+3....+n)を考えずに安易に０だとおもってしまいました。 基礎の質問とは思いますがご回答の方よろしくお願いたします。
- kitty2008
- ベストアンサー率31% (58/185)
lim 1/n^2 (1+2+3....+n) とありますが、(1+2+3....+n)x（1/n^2）ではない ですか？前項は (1+2+3....+n)=n(n+1)/2=n^2/2+n/2 となります。これを n^2で割ると 1/2+1/2n ですから 極限値は1/2となります。
お礼
ご回答の方誠にありがとうございます。 >前項は (1+2+3....+n)=n(n+1)/2=n^2/2+n/2 となります。これを n^2で割ると 1/2+1/2n ですから 極限値は1/2となります とのことなのですがお恥ずかしい話どうやったらこの計算にたどりつくのかすら理解できておりません。limのあとが普通の（といったらよいのでしょうか）２次式であり、かつnの値に具体的な数字がはいっている場合しか計算できていない状態です。 参考書には、n→∞でありかつ分数の時は答えが０となっていたので、横の(1+2+3....+n)を考えずに安易に０だとおもってしまいました。 基礎の質問とは思いますがご回答の方よろしくお願いたします。
関連するQ&A
- 極限に関する質問です。
極限に関する質問です。 （1）lim[n→∞]0＾n=0 （2）lim[n→0]∞＾0=0 （3）lim[n→∞]1＾n=1 だと認識しているのですが、間違っている部分はありますでしょうか？ （2）が怪しい気がしています。 ∞を極限として扱っていないためです。「∞＾n」なんて存在しないと言う認識で良いでしょうか？ また、（3）もネット検索で不定という回答も見かけました。（3）は正しいと思っているのですが。 ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値の問題です
以下の極限値を求める計算をしたのですが、 あっているか自信がありません。 詳しい方がいらっしゃいましたら、ご指導お願いします。 【問題】 一般項anが、次で与えられる数列{an}について、個々の収束・発散を調べ、収束する場合にはその極値を求めよ。 (1) 2^n (答)lim[n→∞] 2^n = ∞より、発散する。 (2) (2n^2+1)/(n^2+3) (答)lim[n→∞] (2n^2+1)/(n^2+3) =lim[n→∞] {2(n^2+3)-5}/(n^2+3) =lim[n→∞] { 2(n^2+3)/(n^2+3) - 5/(n^2+3) } =lim[n→∞] { 2 - 5/(n^2+3) } より、2に収束する。 (3) √(n+1)-√n (答)lim[n→∞] √(n+1)-√n =lim[n→∞] {(√(n+1)-√n)(√(n+1)+√n)}/(√(n+1)-√n) =lim[n→∞] (n+1-n)/(√(n+1)-√n) =lim[n→∞] 1/(√(n+1)-√n) また、lim[n→∞] 1/n = 0より、 √(n+1)-√nは、0に収束する。 以上、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値に関する質問です。
極限値に関する質問です。 以前、質問させて頂いた内容を実際に解いて見ようと思ったところ まったく出来ませんでした・・・ 以前の質問内容：http://okwave.jp/qa/q5588555.html 【問題】 （1）lim[n→∞] n^(1/log n)：Ans.）eに収束 （2）lim[n→∞] (log n)^(1/log n)：Ans.）1に収束 （3）lim[n→∞] n^(1/log log n)：Ans.）∞に発散 （1）に関しては、eの定義なので ・e=lim[n→∞](1+1/n)^n ・e=lim［t→0］（1+t）＾1/t ということは、知っているのですがなぜlim[n→∞] n^(1/log n)がeに収束するのでしょうか？ （2）と（3）は・・・状態です。 以上、途中回答も出せず、Googleで調べてもヒットしない状態です・・・ 解き方や考え方を教えて頂けるとありがたいです。よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値の求め方。
解いてみたのですが、答えが合っているか分からないので添削、解答お願いします。 limの下にn→∞を書く書き方が分からないので、lim n→∞という変な書き方になってしまいますが、すみません。 lim n→∞ ((n/((n^2)+(1^2)))+(n/((n^2)+(2^2)))+…+(n/((n^2)+(n^2)))) これの極限値を求める問題です。 = lim n→∞ n((1/((n^2)+(1^2)))+(1/((n^2)+(2^2)))+…+(1/((n^2)+(n^2)))) = lim n→∞ 1/n(((n^2)/((n^2)+(1^2)))+((n^2)/((n^2)+(2^2)))+…+((n^2)/((n^2)+(n^2)))) = lim n→∞ 1/n((1/(1+(1^2)/(n^2)))+(1/(1+(2^2)/(n^2)))+…+(1/(1+(n^2)/(n^2)))) = ∫[0,1]1/(1+x^2)dx = [(tan^-1)x][0,1] =π/4 区分求積法を使って解いたのですが、合っている自信がありません。 見にくくなってしまったのですが、回答をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限値を求めたいのですが、教えてください
次のような極限値を求める問題ですが、次の数列の収束・発散を調べ、収束する場合にはその極限値を求めよという問題です。 (1)lim(ｎ→∞) １+（-１）^ｎ (2)lim(ｎ→∞) √（ｎ^２ +１） - √（ｎ^２ -１）
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 極限の問題
以前も質問させていただきましたが、わからないので教えてください。 lim(n→∞)*{a^n+b^n}^(1/n),a>0,b>0の極限を求めよ。この式にはn乗根が入っています。醜くて申し訳ありません。 まずa,bの大小で2通りに場合わけして、はさみうちを利用しそれぞれ「a.bという答え」になりました。 答えはmax{a,b}のようですが、a=bの場合を考えて、単純にlim(n→∞)*{a^n+b^n}^(1/n)をa=bにすると答えは2a=2bになると思いますが、これは模範解答の答えに含まれていません。 lim(n→∞)*{a^n+b^n}^(1/n)=lim(n→∞)*{a^n+a^n}^(1/n) =lim(n→∞)*{2*a^n}^(1/n)=2a nが消える。 何ででしょうか。挟み撃ちのときは小なりイコールのような感じでイコールのときも一括してやっているので裏目に出ませんでした。 以上をよろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数III極限値（基礎）の質問です。
いつもお世話になり、ありがとうございます。今回も宜しくお願い致します。 数IIIの極限値の問題です。 「極限値 lim n[(1/n)+ {1/(n+1)^2} + {1/(n+2)^2} + ……… + {1/(2n-1)^2}] (n→∞です) を求めよ。」です。 解き方が思いつかず困っています。 答えだけでなく、解法も載せてくださると幸いです。 いつもお手数をおかけして申し訳ありません。 宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
重ねてのご回答ありがとうございます。また詳しい解説もありがとうございます。おかげで解決いたしました。