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微分の問題
f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)…(1) g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)…(2) f(0)=1,g(0)=0 (1) f'(0)=2,g'(0)=1、f(x),g(x)はすべてのxで微分可能であるとき、f'(x),g'(x)を求めなさい。 (2) F(x)=log[｛f(x)｝^2+{g(x)}^2]とおくと、その導関数は定数となる。F'(x)を求めなさい。 (3) F(x)を求めなさい。また、{f(x)}^2+{g(x)}^2を求めなさい。 この問題をどう解けば良いか分かりません。 解く過程を教えていただきたいです。 よろしくお願いします。
- 833838lily
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この手の問題は、書き込みが大変だから、方針と解の概略だけ書いとくから実際の計算は自分でやって。 但し、数IIIは久しくやってないから、勘違いをしてるかもしれないが。。。。。ｗ その時は、ごめん。 (1) f(x),g(x)はすべてのxで微分可能だから、xを一時定数つまり、f(x),g(x)を定数と見て(2変数問題と考えるとわかりやすいだろうか？) 、先ずyについて微分する。 その結果の式に、y＝0を代入する。 (2) h(x)＝｛f(x)｝^2+{g(x)}^2 として、 F(x)を実際に微分すると題意からF(x)が任意のxに対して 一定値になるから、x＝0に対しても成立することにより、f(0)^2+g(0)^2＝一定 になる。 (3) ここまでくると、後は自分で解けるだろう。 (注) この関係を満たすものに、f(x)＝cosx、g(x)＝sinxがある。 加法定理を思い出すと良いだろう。 それが解ってると、少しはやり易くなるかもしれない。
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お礼
最後まで全部できました！本当に助かりました！ ありがとうございました！