テイラーの定理(多変数)を多重指数で表現する問題

質問

多重指数、記号の定義です。
http://imgb1.ziyu.net/view/kimuke/1291568264.jpg.html

問です。
http://imgb1.ziyu.net/view/kimuke/1291568312.jpg.html

2枚目の写真の様に、多変数のテイラーの公式を多重指数を用いて表現したいです。
1変数のテイラーの公式、多変数のテイラーの公式については、多重指数を用いない一般的な表現法を証明して理解しました。
1変数・多変数の一般的な式の形から、多重指数を用いた式の形へ変形しようとしても上手くいきません。
解決の糸口と流れを示していただけましたら幸いです。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

hugen

g'(t)=(∂f/∂x1)d(x1+ty1)/dt＋・・＋(∂f/∂xd)d(xd+tyd))/dt

回答No.1

hugen

h(t)=g(t)+(1-t)g'(t)+・・・+1/(n-1)!*(1-t)^(n-1)*g^(n-1)(t)　　とすると
h'(t)=g'(t)-g'(t)+(1-t)g''(t)-・・・-1/(n-2)!*(1-t)^(n-1)*g^(n-1)(t)
+1/(n-1)!*(1-t)^(n-1)*g^(n)(t)=1/(n-1)!*(1-t)^(n-1)*g^(n)(t)
[g(t)+(1-t)g'(t)+・・・+1/(n-1)!*(1-t)^(n-1)*g^(n-1)(t)](0,1)
=∫[0,1]1/(n-1)!*(1-t)^(n-1)*g^(n)(t)dt
g(1)-{g(0)+g'(0)+・・・+1/(n-1)!*g^(n-1)(0)}=∫[0,1]1/(n-1)!*(1-t)^(n-1)*g^(n)(t)dt
g(1)=g(0)+g'(0)+・・・+1/(n-1)!*g^(n-1)(0)+∫[0,1]1/(n-1)!*(1-t)^(n-1)*g^(n)(t)dt
g(t)=f(x+ty)=f(x1+ty1,・・,xd+tyd)　　とすると
g'(t)=fx1(x+ty)y1+・・・+fxd(x+ty)yd
g''(t)
={fx1x1(x+ty)y1+・・+fx1xd(x+ty)yd}y1+・・・+{fxdx1(x+ty)y1+・・+fxdxg(x+ty)yd}yd
=Σfxixj(x+ty)yiyj
g^(n)(t)=Σ[i,j,・・,k=1→d]fxixj・・xk(x+ty)yiyj・・yk
=Σ[α1+・・+αd=n]n!/(α1!・・αd!)(∂^nf/∂^α1x1・・∂^αdxd)(x+ty)y1^α1・・yd^αd
=Σ[|α|=n](n!/α!)(∂^αf)(x+ty)y^α
g^(n)(0)=Σ[|α|=n](n!/α!)(∂^αf)(x)y^α
f(x+y)=g(1)
=Σ[p=1→n]1/(p-1)!*g^(p-1)(0)+∫[0,1]1/(n-1)!*(1-t)^(n-1)*g^(n)(t)dt
=Σ[p=1→n]1/(p-1)!*Σ[|α|=p-1]((p-1)!/α!)(∂^αf)(x)y^α
+∫[0,1]1/(n-1)!*(1-t)^(n-1)*Σ[|α|=n](n!/α!)(∂^αf)(x+ty)y^αdt
=Σ[p=1→n]Σ[|α|=p-1](1/α!)(∂^αf)(x)y^α
+n∫[0,1](1-t)^(n-1)*Σ[|α|=n](1/α!)(∂^αf)(x+ty)y^αdt

補足

丁寧なご説明、ありがとうございます。とても理解が進みました。
一点、疑問点があります。

g(t)=f(x+ty)=f(x1+ty1,・・,xd+tyd)　　とすると
g'(t)=fx1(x+ty)y1+・・・+fxd(x+ty)yd
g''(t)
={fx1x1(x+ty)y1+・・+fx1xd(x+ty)yd}y1+・・・+{fxdx1(x+ty)y1+・・+fxdxg(x+ty)yd}yd

上記の微分の部分はどのような計算をしているのでしょうか？
よろしければご説明下さい。