数学の問題なんですが

質問

三角形ABCにおいてAB＝4　BC＝2√10　CA＝6　とする。　2頂点BとCから対辺に下ろした垂線と対辺と交点をそれぞれD、Eとして線分BDと線分CEの交点をHとする、　AHの長さを求めなさい

よかったら式も教えてください。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

1) cos∠DAE　を求めます。
　△ABCに余弦定理を適用すると
　　cos∠DAE=(AB^2+AC^2-BC^2)/(2・AB・AC) =1/4

2) AD,AE を求めます。
　　AD=ABcos∠DAE =1
　　AE=ACcos∠DAE =3/2

3) ED を求めます。
　△AEDに余弦定理を適用すると
　　ED^2=AD^2+AE^3-2AD・AEcos∠DAE =5/2
　∴ED=√10/2

4) AH を求めます。
　∠ADH=∠AEH=90°　でこの2角の和は180°ですので　四角形ADHEは四角形の内接します。
　この円には△AEDも内接します。
　さらに、△ADH（△AEHも）直角三角形ですので、AHはこの外接円の直径です。
　ここで△AEDに正弦定理を適用すると
　　AH=ED/sin∠DAE =(√10/2)/(√15/4) =2√6/3
　　　（∵　sin∠DAE=√{1-(cos∠DAE)^2}=√15/4　）
となります。