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微分方程式の途中で対数方程式が出てきて解けません
Mr_Hollandの回答
1) ＞y=C√(x^2+1)と言えるのでしょうか？ 言えますよ。 しかし、積分定数を2つも置くなど回り道をしている感じがします。効率よく解くとよいと思います。 ＞y´/y=x/(x^2+1) dy/y=xdx/(x^2+1) ← 早めに y' を dy/dx に変えましょう。 log|y|=(1/2)log|x^2+1| +C ←積分定数は片方だけにしましょう。 y=C'√(x^2+1) ← C'=±exp(C) として定数を置き直します。 2) ＞右辺をxの一次式として考えて、２階微分すれば０なので、 ＞3y´-1y=e^(2x)+xの微分方程式と考えても良いのでしょうか？ 右辺に e^(2x) があるので、よくありません。 e^(2x) の冪級数展開を考えれば分かりますが、xの無限乗の多項式になります。 e^(2x)=Σ[n=0→∞] (2x)^n/n! = 1+2x+2x^2+4x^3/3+2x^4/3+・・・ ここは特性方程式を考えても、微分演算子Dを考えても構いません。 特性方程式にすれば t^3-3t^2+3t-1=(t-1)^3 と3重解になりますので、同次方程式の一般解が次のように得られます。 （同次方程式の一般解） y=Ae^x+Bx*e^x+Cx^2*e^x （A,B,C:積分定数） 次に、非同次方程式の特殊解を求めます。 まず、右辺がxだけのときについて考えますと、yはxの1次式 y=ax+b と考えることができますので、部分方程式に入れて a+b=0,a=-1 から y=-x+1 が得られます。 そして、右辺がe^(2x)だけのときについて考えますと、y=e^(2x) であれば微分方程式を成立させることが分かります。 以上のことから、与えられた微分方程式の一般解は次のように求められます。 （非同次方程式の一般解） y=Ae^x+Bx*e^x+Cx^2*e^x +e^(2x) -x+1 （A,B,C:積分定数）
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