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フーリエ級数の問題

パーセバルの等式を利用して 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∫-πからπの(cosx)^6dxの値を求めよ。 という問題なのですが、パーセバルというのを教科書通りにやったら、答えが０になってしまいました。 （ちなみに、(cosx)^3=3/4cosx+1/4cos3xというヒントがありましたので使いました。） しかし、これを高校数学に基づいて普通に積分（２倍角の公式等を用いて積分）をすると、答えは 5π/8になりました。 どういうことなんでしょうか。自分の単なる計算ミスなんでしょうか。 誰か教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

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  • Mr_Holland
  • ベストアンサー率56% (890/1576)
回答No.2

　パーセルの等式を利用しても　５π/８　になりましたよ。 　f(x)={cos(x)}^3 とおきますと　ヒントに従って　3倍角の公式から 　　f(x)=(3/4)cos(x)+(1/4)cos(3x) となりますので、f(x)のフーリエ展開の式　a0/2+Σ[n=1→∞] {an cos(nx)+bn sin(nx)} と比較して次の関係を得ます。 　　a1=3/4, a3=1/4, ai=0 (i=0,2,4,5,6,・・・), bi=0 (i=1,2,3,・・・) 　あとはパーセルの等式にそのまま適用します。 　∫[x=-π→π] {cos(x)}^6 dx =π{a1^2+a3^2) =π(1/16+9/16) =5π/8

a1aska
質問者

お礼

ああ、そうか。anはn=1とn=3のときだけ確かに整数になりますね。それ以外は確かに０です。 ちょっと勘違いしてました。ありがとうございました！

a1aska
質問者

補足

ええと、a0=0 an=0になってしまうんですがこれはあってますか？

その他の回答 (1)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

「パーセバルの等式」を使って, どのように計算したんでしょうか? 素直に計算すれば π[(3/4)^2 + (1/4)^2] = 5π/8 で終わり... だよねぇ.

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