- ベストアンサー
急いでます!10岡山大理系数学
原点を中心とする半径1の円をC_1とし、原点を中心とする半径1/2の円をC_2とする。 C_1上に点P_1(cosθ,sinθ)があり、また、C_2上に点P_2(cos3θ/2,sin3θ/2)がある。 ただし、0≦θ<π/2とする。線分P_1P_2の中点をQとし、点Qの原点からの距離をr(θ)とする。 (1)点Qのx座標のとりうる範囲を求めよ。 (2)点Qがy軸上にあるときのθの値をαとする。このとき、αおよび定積分 ∫α 0 {r(θ)}^2dθを求めよ。 ∫の上端がα、下端が0です。 岡山大の理系数学の問題ですm(_ _)m
- takashi9364
- お礼率100% (20/20)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
(1) 点Qの座標をQ(x,y) としますと、x,y は次のようにθで表せます。 x=(1/2){cosθ+(1/2)cos(3θ)} y=(1/2){sinθ+(1/2)sin(3θ)} ただし、 0≦θ<π/2 次にこのxをcosθ=t (0<t≦1) だけで表します。 x=(1/2){cosθ+(1/2)cos(3θ)} =(1/2)cosθ+(1/4)[{cos(3θ)}^3-4cos(3θ)] ←3倍角の公式を利用。 =(cosθ)^3-(1/4)cosθ =t^3-(1/4)t =t(t+1/2)(t-1/2) このことから、tの定義域が実数全体とすると、グラフx(t)はt-x平面でt=0,±1/2 でt軸と交わる3次関数であることが分かります。 極値を求めるために、このxをtで微分しますと dx/dt=3t^2-1/4 となりますので、dx/dt=0 となるのは t=±1/(2√3) のときですで、このときのxの値は t=±1/(2√3) のとき x=干1/(12√3) (複号同順) となります。 ただし、tの取りうる範囲は 0<t≦1 ですので、この範囲でのxの最大・最小を求めますと、 xの最大値: t=1 のとき x=3/4 xの最小値: t=1/(2√3) のとき x=-1/(12√3) となりますので、xの取りうる範囲は次のようになります。 ∴ -1/(12√3)≦x≦3/4 (2) x=0 のとき x=t(t+1/2)(t-1/2), 0<t≦1 から t=1/2 となりますので、0≦θ<π/2 の範囲ではθは次のようになります。 ∴θ=π/3 ∴α=π/3 次に {r(θ)}^2 を求めます。 {r(θ)}^2=x^2+y^2 =(1/4)[{cosθ+(1/2)cos(3θ)}^2+{sinθ+(1/2)sin(3θ)}^2] =(1/4)[(cosθ)^2+(sinθ)^2+(1/4){cos(3θ)^2+sin(3θ)^2}+{cosθcos(3θ)+sinθsin(3θ)}] =(1/4){5/4+cos(2θ)} ←加法定理から これらを使って 与えられた定積分を求めます。 ∫[θ=0→α] {r(θ)}^2 dθ =∫[θ=0→π/3] (1/4){5/4+cos(2θ)} dθ =(1/4) [(5/4)θ+(1/2)sin(2θ)][θ=0→π/3] =(1/4)(5π/12+√3/4) =(5π+3√3)/48 計算ミスがあったらごめんなさい。
その他の回答 (1)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
何処が分からないのでしょうか? 分かるところまでの自力解答を書いて、行き詰っている箇所の何処が分からないのかを聞いて下さい。 解き方 (1)Q(x_q,y_q) x_q={cosθ+cos(3θ)/2)}/2 y_q={sinθ+sin(3θ)/2}/2 cosθ=t(0<t≦1)とおくと θ:0~π/2の時 t:1~0 x_q=t^3 -t/4=f(t) f'(t)=3t^2 -1/4 f'(t)=0より t=1/(2√3) f(1/(2√3)=-(√3)/36 f(1)=3/4 t=0~1までの増減表を描く(グラフの概形も描く) -(√3)/36≦x_q≦3/4 θ=0(t=1)の時最大値3/4 θ=arccos(1/(2√3)の時最小値-(√3)/36 (2) x_q=f(t)=t^3 -t/4=0(0<t≦1)から t(t^2 -(1/4))=0 t=cosθ=1/2 0≦θ<π/2より θ=π/3=α r(θ)^2=x_q^2+y_q^2={cos^3θ+cosθ/4}^2+{sinθ(5-4sin^2θ)/4}^2 =(1/16)+(1/2)cos^2θ ∫[0,π/3] {(1/16)+(1/2)cos^2θ}dθ =(π/48)+(1/4)∫[0,π/3]{1+cos(2θ)}dθ =(π/48)+(π/12)+sin(2π/3)/8 =(5π/48)+(√3)/16 =(5π+3√3)/48
お礼
遅れてすみません。ありがとうございました。
関連するQ&A
- 数学です。困っています。助けてください。原点Oを中心とする半径1の円に
数学です。困っています。助けてください。原点Oを中心とする半径1の円に内接する三角形ABCがあり、3点の座標はそれぞれA(cos2α、sin2α)、B(-cos2β、sin2β)、C(cos2α、-sin2α)とする。ただし、0≦β<α<π/4とする。3辺AB、BC、CAの中点をそれぞれP,Q、Rとする。このとき、次の問いに答えよ。 (1)PO=sin(α+β)であることを示せ (2)PO+QOを求めよ (3)辺ACを固定したとき(αを一定とするとき)PO+QOが最大となる点Bを求めよ (4)この円に内接する三角形の内部に原点Oがあるとき、PO+QO+ROの最大値を求め、そのときの 三角形の形を求めよ
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学が得意な方、助けて下さい!
数学の宿題の中の問題で、 xy平面上に、原点を中心とする半径2の円C1と、点(5,0)を中心とする半径3の円C2と、点(0,12)を中心とする半径10の円C3がある。 C1C 2C3のすべてが内接する円の中心をP1、半径をr1とし、C1C2C3のすべてに外接する円の中心をP2、半径をr2とするとき、P1、P2の座標と、r1、r2の値を求めよ。 お願いします!
- 締切済み
- 数学・算数
- 徳島大学の数学の入試問題です。
原点を中心とする半径1の円上の4点E(1,0) A(cosθ,sinθ) B(cos2θ,sin2θ) C(cos3θ,sin3θ) を考える。ただし、0<θ≦π/3 とする。 (1)線分AEの長さをcosθを用いて表わせ。 (2)△ABCの面積S1 をsinθとcosθを用いて表わせ。 (3)△OACの面積S2が△ABCの面積S1と等しくなるときのθを求めよ。 (4)θ=π/3 のとき、△ABCの内接円の半径rを求めよ。 (1)はAE=√2(1-cosθ) と出ましたが その先が分かりません。 解説をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の問題教えて下さい。
中心Aの極座標が(a.0)である。半径aの円この円上の点Pの極座標を(r,θ)とするとOP=2OAcos∠AOP OP=r OA=a cos∠AOP=cosθ r=2acosθ ※中心が原点でない円の極方程式θの範囲は、0≦π/2, 2π/3≦2πですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学II、Bがわかりません(センター試験)
問)aを正の定数とする。点Oを原点とする座標平面において、中心が0で、半径が1の円と半径が2の円をそれぞれC1、C2とする。 θ≧0を満たす実数θに対して、角aθの動径とC1との交点をPとし、角π/2-θ/3の動径とC2との交点をQとする。 ここで、動径はOを中心とし、その始線はx軸の正の部分とする。 1)θ=πのとき、Qの座標は(□、□)である。 答え)(√3、1) 解説をみるとPの座標を(cosaθ、sinaθ)と Qの座標を(2cos(π/2-θ/3)、2sin(π/2-θ/3)) とおいているんですが、このようにおける意味がわかりません。 あと問題を読む限り、数IIBのどこの単元がわからないので そのあたりも詳しく教えていただけるとありがたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
遅れてすみません。ありがとうございました。