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積分結果が発散しない関数の限界
noname#121794の回答
遅くなったがかなりおもしろい問題だわ。 f(x)=logx,f2(x)=f(f(x))とdefして G(x)=1/x(f(x))^k1(f2(x))^k2(f3(x))^k3・・・・・(fn(x))^kn について考えてみる。(nは1以上の自然数、k1,・・・,knは0以上の実定数) 独自の計算結果により次のことが分かっている。 (i) k1,・・・・・,kn>1 ならば G(x)をある値から∞まで積分すると収束する。以降その積分値を単にJとおく。 (ii) k1,・・・・・,knが全て1ならば Jは発散する。もちろんk1,・・・・・,kn≦1の範囲であっても同じ (iii) k1=k2=・・・・k(n-1)=1かつkn>1ならばJは収束する。 (1V) 任意の自然数i(1≦i≦n)に対してk1,・・・,ki>1かつ0≦k(i+1),・・・・,kn≦1 であれば Jは収束する。 以上からしてk1,・・・・・,knが全て1で境目がつく気もするが安易にそう考えてはいけないのが その質問の趣旨。以下の場合のみまだ自分でもできていない k1,・・・・,ki<1 かつk(i+1),・・・・・,kn>1のときJは収束するかどうか。 (iは1≦i≦nでのある自然数) それを考えて後日時間かかるかもしれないが投稿する予定。
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