- ベストアンサー
発散積分について
∫[-π/4,π/4] dy/sin(2y) = 0 は、正しいでしょうか? 私は、この積分は発散し、値を持たない …と考えています。 積分の収束性、その値、と両者の根拠について、 どなたか御教示頂ければ幸いです。 自分の間違いを了解することができれば …と思います。 是非「理由の説明付きで」宜しく御願いします。
- arrysthmia
- お礼率90% (19/21)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数4
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
積分の解釈次第だと思うのですが, 値を持たない(積分できない)と解釈するのが普通だと思います. 理由はきっと質問者さんと同じですが,確認のため繰り返します. まず,被積分関数は y = 0 で定義されていないので, 積分がどのような意味かを考える必要があります. 代表的だと思う解釈と,対応する結果は以下のようになります. (1) リーマン広義積分 ==> 可積分でない (2) (1) のコーシー主値 ==> 0 (3) y = 0 を適当に定めてリーマン積分 ==> 可積分でない (4) y = 0 を適当に定めてルベーグ積分 ==> 可積分でない わたしは (1) か (4) が自然だと思うので,積分できないと解釈します. (1) 広義積分 ∫[-π/4,-s] dy/sin(2y) + ∫[t,π/4] dy/sin(2y) と,十分小さな s > 0, t > 0 を取って計算すると = log(tan(s/2)) - log(tan(t/2)) となり,s → +0 と t → +0 の近づけ方によって値が変わるので 広義リーマン可積分ではありません. (2) コーシー主値 ==> 積分値は 0 (1) の計算の最後でコーシー主値( s = t → 0 と近づける)だと 解釈すれば,各項がキャンセルして 0 となります. ちなみに,とある質問にあった計算結果は, すべてこの意味で解釈すると正しい結果ですが, 主値ならそれを明記するのが慣習だと,わたしは思っています. (3) y = 0 を定めてリーマン積分 分割の選び方次第で積分値が変わるので,リーマン可積分になりません. この計算は本質的に (1) と同じことをやります. (4) y = 0 を定めてルベーグ積分 絶対値を取った部分について,(3) と似た方法で, 積分が発散する,下からの単関数近似を構成できるので, ルベーグ可積分ではありません. #実は (1), (2) で違いがでるものはルベーグ可積分になりません.
その他の回答 (3)
- gef00675
- ベストアンサー率56% (57/100)
他の方の回答に付け加えることは何もないのですが、日ごろから気になっていた点なので蛇足になりますがコメントします。参考にならなければ、バカの独り言と思ってください。 この問題が、仮に、1/sin(2y) という関数の不定積分あるいは原始関数を求めよ、という問題だったらどう答えましょうか。y=0で連続でなく、その点をまたぐ広義積分も存在しないわけですから、どの点を起点としてもy=0をまたいで積分区間を延長していくことができません。そういう場合、私は、原始関数として y>0の場合、(あるyの式)+定数1 y<0の場合、(あるyの式)+定数2 というように、積分定数を別に用意して処理しています。こういうことを許すと、勝手に区間を分割してやればいくつでも積分定数を増やしていくことができてしまいますが、積分定数を2個だけにしたのは、y=0以外の点で連続になるようにするためです。 お恥ずかしい話ですが、私は学生時代に ∫[-1,1] dx/x^2 =[-1/x]= -1 - 1 = -2 とやってしまい、正の関数の積分が負になるわけないだろ!ドアホ! と言われました。 不連続点に気づかないというのは、うかつですよね。 参考にならなかったらごめんなさい。
お礼
ご回答ありがとうございます。 その件は、私も以前から気になっていました。 過去に、それについてコメントした質問もあり、 今回質問文にリンクを置いておいたのですが、 削除をくらったようです。 再掲すると、お礼まで削除されかねないので、 それは控えます。 定積分が、不定積分の差で表されるのは、 積分区間の両端を代入したときに 積分定数が相殺されるからで、今回のように 定数1-定数2 が任意定数として残ってしまう 場合には、定積分の値が定義されない… 定数1 と 定数2 が独立であることと、 No.2 仰る s と t が独立であることが対応し、 微積分の基本定理で繋がっているのかな? と感じています。
- Ae610
- ベストアンサー率25% (385/1500)
x=0で特異点が存在するので、 ∫[-π/4,π/4] dy/sin(2y) =lim[ε→0]{∫[-π/4,-ε]dy/sin(2y)+∫[+ε,π/4]dy/sin(2y)} ここで、第一項目の積分は lim[ε→0]{[1/2*log|tan(y)|](-π/4,-ε)} =lim[ε→0][1/2*log|tan(ε)|]→-∞ 第二項目の積分は lim[ε→0]{[1/2*log|tan(y)|][+ε,π/4] =lim[ε→0][-1/2*log|tan(ε)|]→∞ となって共に発散するので広義積分は存在しない。 一点、x=0を除いた区間においては、 ∫[-π/4,π/4] dy/sin(2y) =lim[ε→0][1/2*log|tan(y)|][-π/4,π/4] =lim[ε→0]{1/2*log|tan(π/4)|-1/2*log|tan(-π/4)|} =0 となって、積分は、コーシーの意味において存在する。 と言うような解釈になるのではないでしょうか?
お礼
ご回答ありがとうございます。 特に注釈なく、コーシーの主値を発散積分の値として 良いものか? というのが、今回質問の趣意でした。 舌足らずで申し訳ありません。ご回答は、参考になりました。
- orcus0930
- ベストアンサー率41% (62/149)
こう考えればいんじゃないかなと思います。 ∫[-π/4,π/4] dy/sin(2y) =∫[-π/4,0] dy/sin(2y) +∫[0,π/4] dy/sin(2y) (*) y= -xとして 置換すると、 ∫[-π/4,0] dy/sin(2y) =∫[π/4,0] -dy/sin(-2x) =∫[0,π/4] dy/sin(-2x) =-∫[0,π/4] dy/sin(2x) とできるので、 (*)=-∫[0,π/4] dy/sin(2y) +∫[0,π/4] dy/sin(2y) =0 として、値を持つなら0になるのはわかりますが、 収束性の議論はもうちょっと考えないといけない気がします。
お礼
ご回答ありがとうございます。 収束性についての質問です。
関連するQ&A
- 発散するのに積分可能?
積分∫∫∫|R|^-2 dxdydz を考えます。 積分領域は全空間とします。 またRは三次元ベクトルでR=(x,y,z)と定義され、|R|はベクトルRの長さとします。 さて、明らかにR=0の点で被積分関数は発散します。 私の式変形が正しいのであれば、球座標変換により、上記の積分は ∫∫∫sin θ drdθdφ = [有限の値] となり、積分可能となります。 私の質問は以下の2つです。 (1)式変形はあってますか? (2)発散するのに有限の値を持つのはなぜ? 例えば1次元の関数 x^-2 を[a,+∞]の範囲で積分することを考えます。 このとき、a->0とすれば積分値はどんどん大きくなります。 同様に考えて、問題の積分の式は発散すると思ったのですが、なぜか有限の値が出てきてしまいました。 球座標系にしたとたんに有限の積分値になってしまうのはなぜなのでしょうか? それとも、私はどこかで大きな勘違いをしているのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分範囲-∞→∞の積分の発散についてです。
「∫(x/1+x^2)dx 積分範囲-∞→∞ が、発散することを確かめよ。」 という問題なのですが、何度計算をしても0に収束してしまいます。 そもそも関数が奇関数なので0に収束するので間違いないと思うのですが…教科書に載っているの問題なのですが解答は「∫(x/1+x^2)dx 積分範囲0→∞ =∞より∫(x/1+x^2)dx 積分範囲-∞→∞は発散」となっています。どういうことなのですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- eの広義積分についての問題なのですが
∫e^(-ty)・e^(-y^2)dy (積分範囲:-∞→+∞) この広義積分が収束するか、また収束するならその値を求めよ。 という問題なのですが、収束するかは置いておいて、とりあえず積分しようとしたのですが、やはり範囲の-∞→+∞でつまづいてしまいます。どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 無限積分?の収束・発散
∫sin(x^p)dx (積分範囲は1→∞)の収束・発散を判定せよ(pは定数)、という問題があるのですが、判定法がわかりません。ヒントをください(>_<)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 次の繰り返し積分の積分順序を交換して値を求めろ
次の繰り返し積分の積分順序を交換して値を求めろという問題がいくら考えてもわかりません・・・ ∫[0→1] (∫[0→√(1-x^2)] x/√(x^2+y^2) dy) dx 計算過程を書いて説明してもらえると幸いです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分の収束と発散の問題
∫[0,π](1/√(sin x))dx この広義積分の収束と発散を判定せよという問題なのですが解放を教えてください。 現在講義で習ったのが f(x):[a,b)で連続 ョμ≧1 lim(x→b-0) (b-x)^μ*f(x)が収束 ならば ∫[a,b]f(x)dxは発散 という内容なのでこれをうまく利用するみたいですが、まったく解法が浮かびません… どうかお助け願います。
- 締切済み
- 数学・算数
- 定積分を求めようとしています(2)
定積分を求めようとしています(2) S(π/2-0){1/(2+cosx)}dx (区間π/2-0における1/(2+cosxの定積分)を求めようとしています。 計算してみたのですが、計算が間違っているのか、結果が発散します。 cosx=yとおくと -sinxdx=dyとなり、 上の式は S{1/(2+y)}dy・1/(-sinx)と変形できます。 これを計算すると log|2+cosx|・1/(-sinx)となるため、 回答がlog2-1-log2-∞ となり、発散します。 正しい計算の仕方と解をご教授願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2重積分の問題教えてください!
Dを()内の不等式で表される領域とするとき、次の2重積分の値を求めよ。(領域Dも図示せよ。) ∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy (0≦x≦π/2, x≦y≦2x) 2重積分の問題なのですがなかなか答えにたどり着けずにいます。誰か教えていただけないでしょうか? ∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy =∫[π/2,0]{∫[2x,x]sin(2x+y)dy}dx ここからが進みません。宜しくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線積分における完全微分性および積分路に対する独立性について
cを経路とすると、 ∫c {F1(x,y)dx+F2(x,y)dy} について、∂F1/∂y=∂F2/∂x が成り立つとき、F1(x,y)dx+F2(x,y)dyは完全微分であると言い、 ∫c {F1(x,y)dx+F2(x,y)dy}は、経路に関係なく始点と終点 だけで決まるというようなことを習いました。 ここで、 ∫c {F1(x)dx+F2(y)dy} は、∂F1/∂y=∂F2/∂xが成り立つので始点と終点を指定して 積分すれば良いということになるのですが、 ∫c {F1(x)dx+F2(y)dy}は、始点と終点を指定して 積分すれば良いということを「直接」偏微分で考えずに、 もっと初等的に、(線)積分の意味などから 考える方法はありませんか? 自分で考えてみたところ、「∫c F1(x)dx では、 F1はxの関数なので、xの値にのみ依存し、例え経路c上の 座標(x,y)が(5,9)であろうと(5,3)であろうとxの値は5になるので、 ∫c F1(x)dxは経路に依存せず、始点と終点を定めて計算すれば 良い」という説明になるのかな?と思いました。 たぶんこれは、∂F1/∂y=∂F2/∂xが成り立つことを間接的に説明 しているように思えるのですが… この説明はこの説明で良いのでしょうか? 他の説明の仕方があれば教えてください。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ご回答ありがとうございます。 この質問は、一部の文章が管理者により削除されましたが、 内容から見て、削除前の版をご覧いただけたようです。 私の理解が間違っていなかったようで、ホッとしました。 独学なもので、自信を持って変な事を書く人がいると、 タジろいでしまうのです。