- 締切済み
積分結果が発散しない関数の限界
noname#121794の回答
おかしくもなんともない。情けないミスだ。すまん x>1で1/(x log x)<1/xlog(logx)だから1/xlog(logx)を1から∞まで積分すれば発散するのは当たり前だ。まあそれはおいといて 1/x(logx)^kについて考えると ∫1/x(logx)^k ＝{(logx)^(1-k)}/1-kだから k>1ならばある値(ただし1よりは大きい)から∞にそって積分すれば ∫1/x(logx)^k はきっちりと収束する。だからとりあえず境目は1/x(logx)になるのかな。
- noname#121794
- noname#121794
関連するQ&A
- 積分範囲－∞→∞の積分の発散についてです。
「∫(x/1+x^2)dx 積分範囲－∞→∞ が、発散することを確かめよ。」 という問題なのですが、何度計算をしても０に収束してしまいます。 そもそも関数が奇関数なので０に収束するので間違いないと思うのですが…教科書に載っているの問題なのですが解答は「∫(x/1+x^2)dx 積分範囲０→∞ ＝∞より∫(x/1+x^2)dx 積分範囲－∞→∞は発散」となっています。どういうことなのですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 次の積分は発散するかどうか
次の積分は発散しますか？ 積分問題： ∫[0～∞]exp(-x^2/4)｛∫[0～x]exp(r^2/4)dr｝dx exp(-x^2/4)と∫[0～x]exp(r^2/4)dr との積をxについて0から∞まで積分すると発散するかどうかということです。 exp(-x^2/4)｛∫[0～x]exp(r^2/4)dr｝についてはxを∞にとばすとこれは0に収束することが示すことができました。0に収束するのでこの問題となっている積分がもしかしたら収束するかもしれないし発散するかもしれないしというところです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分の収束・発散
こんばんは。私は現在大学で微分積分を学んでいるものです。 広義積分の収束・発散を求めろという問題があるのですが、 関数f(x)が区間(a,b]で連続であり、|f(x)|≦g(x)、g(x)の(a,b)の積分が存在するとき、f(x)の広義積分が存在するとあるのですが、実際に問題を解くときは、どうやってg(x)を見つけるかわかりません。 ぜひ教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 発散するのに積分可能？
積分∫∫∫|R|^-2 dxdydz を考えます。 積分領域は全空間とします。 またRは三次元ベクトルでR=(x,y,z)と定義され、|R|はベクトルRの長さとします。 さて、明らかにR=0の点で被積分関数は発散します。 私の式変形が正しいのであれば、球座標変換により、上記の積分は ∫∫∫sin θ drdθdφ = [有限の値] となり、積分可能となります。 私の質問は以下の2つです。 (１)式変形はあってますか？ (２)発散するのに有限の値を持つのはなぜ？ 例えば1次元の関数 x^-2 を[a,+∞]の範囲で積分することを考えます。 このとき、a->0とすれば積分値はどんどん大きくなります。 同様に考えて、問題の積分の式は発散すると思ったのですが、なぜか有限の値が出てきてしまいました。 球座標系にしたとたんに有限の積分値になってしまうのはなぜなのでしょうか？ それとも、私はどこかで大きな勘違いをしているのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分の収束・発散の問題です
∫[1→∞] (exp(-x) / (√x)) dx が収束するか、発散するかわかりません。 収束発散を決めるために適用する関数の見つけ方、何かありますか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分の収束or発散の判定
(1) ∫(0～1) (1-x^3) ^ -1/2 dx (2) ∫(0～1) (1-x^4) ^ -1/2 dx (3) ∫(0～π) (sinx+cosx) ^ -1 dx これらの広義積分の収束or発散を調べたく、(1)(2)は収束し、(3)は発散するそうなのですが、解き方がいまいちわかりません。分かる方がいましたから、教えて頂けると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
>だからとりあえず境目は1/x(logx)になるのかな。 繰り返しになりますが、これがどこまで精密化できるかが問題です。 1/x(log x)(log log x)の積分は発散しますが、 1/x(log x)(log log x)^2の積分は収束します。 logを取るのを繰り返せば、どんどん精密化できます。 この境目を数式で書くことはできるのでしょうか？