余りに関する漸化式

質問

整数ｎ>=0、数列{an}をa0=1,a1=2,a(n+2)=a(n+1)+anによって定める。
anを３で割った余りをbnとし、cn=b0+b1+・・・+bnとおく。
(1)b0,b1,......b9を求めよ。
これはわかりました。
なぜ、求めさせたかもわかります。
(2)c(n+8)=cn+c7を示せ。
　(1)から{bn}は周期８の数列でc(n+8)-cn=b(n+1)+......+b(n+8)となり、
　右辺は順番は異なるが、1+2+0+2+2+1+0+1=9=c7となる。
　よって、c(n+8)-cn=c7
このように考えましたが、答案としてこれで良いのでしょうか。
　また、この漸化式をなぜ問題として、示させたのか。たぶん次ぎの(3)
　につながるのだろうとは思うが、よく分かりません。
(3)n+1=<cn=<3(n+1)/2 を示せ。
　　(2)を使うのだろうと思うのですが、どう使っていくのかとっかかりができません。
　　方針だけで良いので、示してもらえるとありがたいです。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

(2)はそれでいいと思います。
(3)は帰納法ですね。
n=0,1,2,・・・,7のとき成り立つことを確認して、
n+1=<cn=<3(n+1)/2が成り立つとき、
(n+8)+1=<c(n+8)=<3((n+8)+1)/2が成り立つことを示す。

n+1=<cn=<3(n+1)/2
n+1+c7=<cn+c7=<3(n+1)/2+c7
n+1+9=<c(n+8)=<3(n+1)/2+9
(n+8)+1<n+10=<c(n+8)=<3(n+1)/2+9<3((n+8)+1)/2

お礼

回答ありがとうございます
(n+8)+1=<c(n+8)=<3((n+8)+1)/2を示せば、
数学的帰納法の無限装置の完成ですね。
cnの番号が数列が離れていることと、c7に惑わされました。
もし、c(n+8)=cn（実際はc(n+8)≡cn）なら数学的帰納法に気づいていたかもしれないが。