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等比級数の和を応用した式を用いて、条件を満たす値を計算できるか
noname#121794の回答
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思いつくのは大変だと思うが Σ(p=0 → ∞) Kp(a)の値は f(x)=-{log((1-ax)/a)}/2,として a^2(f(1)-f(0))-(f(1)-f(0)-f'(0)-f''(0)/2)である。 つまりこれを計算して{2(1-a^2)log(1-a)+2a+a^2}/4 となる。 (計算間違いしている可能性があるかも) 君のやったやり方とはまったり違うが、知っておいた方がいいかもしれない。 実はテイラー展開を用いてできる。(ここから説明) f(x)=-{log((1-ax)/a)}/2とおく。(ここがかなりのテクニックを要した) f'(0)=a/2 f''(0)=(a^2)/2 f'''(0)=a^3 f^4(0)=3a^4 ・・・・・・ f^(p+1)(0)=(p!a^(p+1))/2, f^(p+3)(0)= ((p+2)!a^(p+3))/2 f(x)をx=0のまわりでテイラー展開(マクロリーン展開)をして f(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(0)x^2)/2!+・・・・・+(f^(p+1)(0)x^(p+1))/(p+1)! +・・・+(f^(p+3)(0)x^(p+3))(p+3)!+・・・・・・・ ここでx=1としてうまくまとめると f(1)=f(0)+{a+a^2/2+a^3/3・・・・+a^(p+3)/p+3+・・・・・}/2 ・・・・・(ア) a^2f(1)=a^2f(0)+{a^3+a^4/2+・・・・+a^(p+3)/p+1+・・・・}/2 ・・・・・・(イ) また Kp(a)=1/{(p+1)(p+3)} * a^(p+3)=a^(p+3){(1/p+1)-(1/p+3)}/2より Σ(p=0 → ∞) Kp(a) =Σ(p=0 → ∞) a^(p+3)/2(p+1)-Σ(p=0 → ∞) a^(p+3)/2(p+3) (イ)より Σ(p=0 → ∞) a^(p+3)/2(p+1)=a^2(f(1)-f(0)) (ア)より Σ(p=0 → ∞) a^(p+3)/2(p+3)=f(1)-f(0)-(a+a^2/2)/2 したがって Σ(p=0 → ∞) Kp(a) =a^2(f(1)-f(0))-(f(1)-f(0)-(a+a^2/2)/2) 君のやっていることとは反れてしまっているが、他の回答者からのヒントをもらってやってくれ。 ここでは違う方法でもできることを述べてみた。
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