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数学の和の問題です。
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S=Σ[n=1→N] nα^n とおきます。 このときSを展開しますと次のようになります。 S=α+2α^2+3α^3+4α^4+・・・+(N-1)α^(N-1)+Nα^N またαSを考えますとつぎのようになります。 αS= α^2+2α^3+3α^4+・・・+(N-2)α^(N-1)+(N-1)α^N+Nα^(N+1) このことから α≠1のとき S-αS は次のようになります。 (1-α)S=α+α^2+α^3+・・・+α^(N-1)+α^N-Nα^(N+1) =α(1-α^N)/(1-α)-Nα^(N+1) =α{1-(N+1)α^N+Nα^(N+1)}/(1-α) ∴S=α{1-(N+1)α^N+Nα^(N+1)}/(1-α)^2 (α≠1のとき) また α=1 のときは S=Σ[n=1→N] n なので ∴S=N(N+1)/2 (α=1 のとき)
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お礼
差をとるとは思いつきませんでした。 ありがとうございました