数学の問題を教えて下さい

質問

数学の問題について教えて下さい。

Σ[{(k+α)C(k)}*{x^(k)}]
コンビネーションの左がk+α、右がkで
それにxのk乗が掛かっていて、Σのしたが0、上がnです。αは定数で、1、2、3…です。
これで、n→∞の時の値を、n、x、αであらわす式を教えて下さい。

例えば、α=３の時は、3回積分して、等比数列の和の公式を使い、３回微分すればよいと思ったのですが、膨大な計算量になってしまいましたら。うまい方法を教えて下さい。

回答No.1

shippo_ppk · ベストアンサー

視点を変えて、ある関数f(x)のテイラー展開が
Σ[{(k+α)C(k)}*{x^(k)}]
だと考えてみてはどうでしょうか。

補足

回答ありがとうございます。

ΣC(0,∞)○で、
○には、x^k,(k^2)*(x^k),k(k+1)*(x^k),{(k+2)C(k)}*(x^k),(k+3)C(k)*(x^k)
の何れかが入り、
1/(1-x)^4 となるのはどれか？という問題なのですが、どうすれば良いでしょうか？どうかお願いします。

回答No.4

Ae610

与式=f(x)=1+(1+a)*x+((1+a)(2+a)/2!)*x^2+((1+a)(2+a)(3+a)/3!)*x^3+・・・+((1+a)(2+a)・・・(n+a)/n!)*x^n+・・・というように見ますとf(x)のマクローリン展開された式に見えます。

f(x)=(1-x)^(-a-1)をマクローリン展開すると上の式と一致します。

（スミマセン・・回答になってないですかね）
失礼しました。

回答No.3

shippo_ppk

#1の補足について
そういう設問だったのですか。ひねくれた問題かと思いましたが、質問の仕方が問題を複雑化しています。まずは設問通りに記述して、疑問点を記した方がよいです。

回答No.2

syacho-

f(x)=1/(1-x)^4とおいてマクローリン展開してみます。
１階微分：4(1-x)^{-5}
２階微分：4・5(1-x)^{-6}
よって、ｎ階微分してx=0とする。
(n+3)!/3!
マクローリン展開は、
f(x)=Σ(k+3)!/3!k! ・ x^k
なので、
(k+3)!/3!k!={(k+1)(k+2)(k+3)}/{1・2・3}
={k+3}C{3}
となると思うのですが、、、一度計算してみて下さい＾＾；