- 締切済み
Cr(a)を中心a、半径rの円の内部、γをその円周とするφ(z)をγ上
Cr(a)を中心a、半径rの円の内部、γをその円周とするφ(z)をγ上で連続な関数とし、ζ∈Cr(a)に対し、f(ζ)=∫_(γ) φ(Z)/(Z-ζ)ｄｚとおけば、f(ζ)はCr(a)において正則な関数で、 f'(ζ)=∫_(γ) φ(Z)/(Z-ζ)~2 ｄｚとなることの証明で、等式1 /(z-ζ-Δζ) － 1/(z-ζ) ＝ Δζ /(z-ζ-Δζ)(z-ζ) まで分かるんですが・・・ {f(ζ＋Δζ)}－{f(ζ)}/Δζ － ∫_γ {φ(z)}/{(z-ζ)^2}dz＝Δζ*∫_γ{(z-ζ-Δζ)(z-ζ)^2}/φ(z)dz・・・(＊)が得られる。 0＜ｐ＜ｒを固定。z∈γ;ζ,ζ＋Δζ∈Cp(a)ならば、|z-ζ|,|z-ζ-Δζ|＞r-pとなり、|φ(z)|(z∈γ)は有界。よって、ある(ζ、Δζに無関係な)正定数ｋがあって、式(＊)の右辺の絶対値は≦ｋ|Δζ|である。よってf(ζ)はCr(a)において正則で、f'(ζ)＝∫_γ{φ(z)}/{(z-ζ)^2}dzが成立する。 からが分かりません！！ 細かい解説、よろしくお願いします(/_;)
- shiori-chan
- お礼率0% (0/1)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- muturajcp
- ベストアンサー率78% (505/644)
f(ζ)=∫_γφ(z)/(z-ζ)dz f(ζ+Δζ)=∫_γφ(z)/(z-ζ-Δζ)dz {f(ζ+Δζ)-f(ζ)}/Δζ=∫_γφ(z)/{(z-ζ-Δζ)(z-ζ)}dz {f(ζ+Δζ)-f(ζ)}/Δζ-∫_γ{φ(z)}/{(z-ζ)^2}dz=Δζ∫_γφ(z)/{(z-ζ-Δζ)(z-ζ)^2}dz…(*) 0<p<rを固定。z∈γ;ζ,ζ+Δζ∈Cp(a)ならば、|z-ζ|,|z-ζ-Δζ|＞r-pとなり γはコンパクトでφ連続だから|φ(z)|(z∈γ)は有界だから∃K1(|φ(z)|<K1) |∫_γφ(z)/{(z-ζ-Δζ)(z-ζ)^2}dz|<2πrK1/(r-p)^2 k=2πrK1/(r-p)^2とすると式(*)の右辺の絶対値 |Δζ∫_γφ(z)/{(z-ζ-Δζ)(z-ζ)^2}dz|≦k|Δζ| だから ∀ε>0に対して、∃δ=ε/k 0<|Δζ|<δ→|{f(ζ+Δζ)-f(ζ)}/Δζ-∫_γ{φ(z)}/{(z-ζ)^2}dz|≦k|Δζ|<ε だから f'(ζ)=lim_{Δζ→0}f(ζ+Δζ)-f(ζ)}/Δζ=∫_γ{φ(z)}/{(z-ζ)^2}dz
関連するQ&A
- 全複素平面上で正則な関数f(z)は
全複素平面上で正則な関数f(z)は lim_[r→0] ∫_Cr f(z) dz = 0 を満たすことを示せ。ただし、Cr = { r*exp(iθ) | 0≦θ≦π } （r>0の上半円周） 考えた証明の方針： 単純閉曲線C:= Cr + Cr' (ただし、Cr': = { x | -r≦θ≦r } )と定め、 まず、コーシーの積分公式を証明。すなわち、∫_C f(z) dz = 0 次に、∫_C f(z) dz = 0 に r→0として題意を示すと思いました。 しかし、∫_-r^r f(z)dz =0になることが言えなくて、つまづいています…。 どなたか知恵を貸してください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正則だから、有界？
今日は。複素関数を独学中ですが、次の教科書の記載文中で分からない箇所が有りますので教えて下さい。 いま関数f(z)が開円板|z-α|＜ρで正則であるとする。 zをこの開円板の点とし、rを|z-α|＜r＜ρなる任意の正の数、Cを円周|ζ-α|=rを正の方向に進む道とする。この後の記載は少し省略させて頂きまして、次の f(ζ)はC上で正則だから、有界であって、C上でつねに |f(ζ)|＜M となるような正の数Mが存在し、…とあります。 疑問点は、「f(ζ)はC上で正則だから、有界であって」の箇所です。私としては、 f(ζ)はρ内およびC上で連続でCに沿って一周する積分路をとると∫_cf(ζ)dζ=0であるからf(ζ）は有界である。のかと考えてみたのですがすっきりしません。 なぜ正則だと有界といえるのか分かり易く教えていただけたら幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分について
複素数cと実数ξとし、 f(z)=(e^(iξz))/(z-c) という複素関数を考えます。 lr={z=t ; -r<t<r} 、Cr+={z=re^(it) ; 0≦t≦π} 、 Cr-={z=re^(-it) ; 0≦t≦π} として、lrとCr+を合わせた曲線をγ+、lrとCr-を合わせた曲線をγ-とします。 ここで、 （１）Im c≠0、|c|<rとしたとき、f(z)のγ+、γ-上の積分 （２）Im c≠0、ξ≠0のとき、実軸上の積分、 ∫[-r,r] f(x)dx , r→∞ という問題なのですが、（１）については、 ）Im c>0のとき γ-上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ-] f(z)dz=0。 また、γ+上の積分は、留数定理により、∫[γ+] f(z)dz=2πie^(iξc)。 ）Im c<0のとき γ+上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ+] f(z)dz=0。 また、γ-上の積分は、留数定理により、∫[γ-] f(z)dz=2πie^(iξc)。 となると思うのですが、これで大丈夫なのでしょうか？ また、（２）については、 ∫[γ+] f(z)dz + ∫[γ-] f(z)dz =∫[Cr+] f(z)dz +∫[Cr-] f(z)dz+2∫[lr] f(x)dx と考えたのですが、左辺については、Im cの符号によらず4πie^(iξc)となると思いますが、右辺については、よくわからなくなってしまいました。どのようにして、考えていけばよいのでしょうか？どなたかお力添えよろしくお願いします。 読みにくい文章で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 半径ｒの円で、定弦ＡＢ(＝２ｋ)がある。
半径ｒの円で、定弦ＡＢ(＝２ｋ)がある。 円周上の動点ＰがＡＰ×ＢＰ＝２ｒ(ｒ－√(ｒ^2-k^2)) となるとき、点Ｐの位置を求めよ。 点Ａ（ｒ，０）とする。点Ｂ（ｒcosβ，rsinβ） 点Ｐ（rcosα，rsinα）とおいて、 (ＡＰ・ＢＰ)^2=4r^4(1-cosα)(1-cos(β-α)) ここからの処理に行き詰まりました。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- この定理の名称を教えてください
以前何かの本で見かけてうる覚えなのですが多分 「∀k∈Nに対して,複素関数列f_kは開領域D(⊂C)で正則であるとする。この時, {Σ_{k=0}^n|f_k(z)|;n∈N}が有界⇒Σ_{n=0}^∞f_n(z)はDで正則」 だったと思うのですがこの定理は"有界収束定理"と呼ばれるものなのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分
複素関数f(z)を、 f(z)=(1-e^(2iz))/z^2 (zはC/{0}の元) とします。 （１）z=0におけるローラン展開 （２）R>0に対して、上半円弧CrをCr={z=Re^(iθ) : 0≦θ≦π}とし、 反時計回りに向きを入れるとき、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz という上記の二問についてですが、 （１）について e^zのテイラー展開にz=2izを代入し f(z)=(1/z^2){1-(1+z+(z^2)/2!+…} =-Σ[n=1→∞] (((2i)^n)z^(n-2))/n! と強引に計算しましたが、これで大丈夫なのでしょうか？ （２）について z=Re^(iθ)を与式に直接代入して、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz =lim[R→∞] ∫[0,π] {1-e^(2iRe^(iθ))}/{Re^(iθ)} dθ として、ここから積分評価をしていきたいのですが、どのようにして考えていけばよいのでしょうか？とりあえず、被積分関数の絶対値を考えてみたのですが、うまくいきません。どなたかアドバイスをいただけませんか？ 以上の二問ですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- f(z)=(1/√(2π))exp(-(z^2)) ω,aは正の実数、
f(z)=(1/√(2π))exp(-(z^2)) ω,aは正の実数、ｊは虚数単位 の時に、 lim[a→∞](∫[a-jω,a]f(z)dz)+lim[a→∞](∫[-a-jω,-a]f(z)dz) = 0 を証明したいのですが、どのように計算すればいいのでしょうか？ どなたかわかる方よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
