整数mの範囲を表すためには実数条件を補正する必要がある

質問

• 整数mと正の整数n、実数aに関する条件を考える
• m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)>0を満たすaの範囲を求める
• 判別式やグラフの最大値を考えたが解法が見つからず、因数分解もできない

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

判別式＝(a-1)^2-4an^2/(2n+1)
＝a^2-{2+4n^2/(2n+1)}a+1
＝a^2-{(2n+1)+1/(2n+1)}a+1
＝{a-(2n+1)}{a-1/(2n+1)}＜0
より
1/(2n+1)＜a＜2n+1

a≧(2n+1)のとき、m=nとすると
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)＝n(n+1){1-a/(2n+1)}≦0

a≦0のとき、m=0とすると
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)=an^2/(2n+1)≦0

0＜a≦1/(2n+1)のとき、
{m-(a-1)/2}^2-(a-1)^4/4+an^2/(2n+1)
より最小になるのは、m=(a-1)/2のときであるが、
-1/2＜(a-1)/2≦-n/(2n+1)＜0
なので、m=0のとき最小になる（放物線の軸がm=0に近いので）。
よって最小値は、
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)＝an^2/(2n+1)
よりa＞0なら、m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)＞0

以上より、
0＜a＜2n+1

お礼

大変ありがとうございます。
考えていましたが、分からなくてもやもやしていました。
m^2-(a-1)m+an^2/(2n+1)＞０とならない部分を
考えていくという方針が参考になりました。
正面突破でなくて、周りから攻めるといった感じかと
思います。納得いく解答ありがとうございます。