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曲線群の通過範囲?というらしい問題
実数tが変化するとき、 直線y=2tx-(t+1)^2 が通りうる点(a,b)の存在範囲を求めよ。 ☆ f(x,y,t)=0のtが実数である点(x,y)の集合 ・・・とありましたが、どうするのかわかりません。 解法を教えてください!
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実数tが変化するとき 直線y=2tx-(t+1)^2が通りうる点(a,b)の存在範囲を求め、 これを図示せよ。以下解答です。 y=2tx-(t+1)^2 =-{t-(x-1)}^2+(x-1)^2-1 (a,b)を代入 b=-{t-(a-1)}^2+(a-1)^2-1 {t-(a-1)^2}=(a-1)^2-1-b ≧0 b≦(a-1)^2-1 ←答 これを図示 tについて整理後平方完成し、 a,b代入後、移項し左辺が二乗で正、だから右辺も正 というやろうとしていることはわかりますが。。。 どうしてこのような解答をするに至るのでしょうか。 「これだからこうやる…」という根拠がわかりません。 よろしくお願い致します。
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こんにちは。実は、手元にある参考書(大学への数学) に包絡線(?)についての問題があるのですが、さっぱり理解できません。。。 答えも乗っていないので、どう考えたらいいかもわかりません。 以下、全文を載せます。 例1 a,bは実数である。tの方程式t^2-2at+b-1が0小なりt小なり1を満たす実数解を 少なくとも2つ持つとき、点(a,b)の存在範囲を図示せよ。 です。もう一問あって、 例2 実数tが0小なりt小なり1で動くとき、xy平面の直線lt:y=2tx-t^2+1が通過する領域 を求めよ。 です。両方とも考えたのですが、よくわかりません。解法など示して頂けたら嬉しいです。 よろしくお願いします。
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問題) a^2x^2+b^2y^2≦1・・・(1)を満たす(x、y)が全て、a(x-1)+b(y-1)≦0・・・(2)を満たすような(a,b)の範囲を求めよ という問題に対して解法の流れは次のようになっています。 解法の流れ) X=ax, Y=by・・・(*)と置くと、(1)はX^2+Y^2≦1・・・(3)、(2)はX+Y≦a+b・・・(4)となり、 i)a≠0かつb≠0のとき、 任意のX,Yに対して(*)を満たす実数(x、y)が存在するので、(3)を満たす(X,Y)が全て(4)を満たすような(a,b)の範囲を求めればいい。 ii)a=0かつb≠0のとき X=0であり、任意の実数Yに対して(*)を満たす実数yが存在するので、(3)を満たす(0,Y)が全て(4)を満たすような(a,b)の範囲を求めればいい。 iii)a≠0かつb=0のとき ii)と同様に。(以下略) iv)a=0かつb=0のとき 明らかに成り立つ。 と場合分けをして求めています。 ここで、質問です。 まず、問題にある、「(1)を満たす(x、y)」が解法では実数となっており、 また(a,b)も実数となっていますが、どうして実数と分かるのでしょうか? 次に、X=ax、Y=by(*)と置き換えたことで、 (1)を満たす(x、y)⇔(場合分け(i)にあるように)「任意のX,Yに対して(*)を満たす実数(x、y)が存在するので」、 となるのはどうしてでしょうか? (x、y)や(a,b)が実数だとして読み進めると、 (1)かつ(*)を満たす実数(x、y)に対して実数(X,Y)が存在するので、(3)⊆(4)を満たす(a,b)の範囲を求めればよい、という展開にはならないでしょうか?? 最後に、X=ax、Y=by(*)と置き換えた(X,Y)について、実数だとして、(X,Y)の存在条件を示さなくていいのでしょうか?? 以上、質問3つです。頭が混乱していて変な質問しているかもしれません。 X,Yと置き換えたことで、どう求めたらいいのか分からなくなってしまったことが原因です・・; よろしくお願いします。
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お礼
じゃあ、答えとしては、最終的に出た y=(x-1)^2-1 のx、yをa、bにすればいいんですよね、多分。 よくわかりました。ありがとうございました。