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数列の漸化式に関する問題とその解法
szlachta7の回答
３を説明します。前回言い忘れましたが、掛け算は＊、累乗は^であらわしています。また乗数n-1などは-1が紛らわしく見えるため（ ）に入れておきます。 これは漸化式から数列の一般項を求める問題ですね。 （1）A1=1 An+1=9-2An まず漸化式 An+1=9-2An を An+1=-2(An-9) の形に書き換えます。 この式から、An+1-k=-2(An-k) であると言えますね。 展開して An+1=-2(An-k)+k An+1=-2An+3k 与えられた漸化式がAn+1=9-2An つまり An+1=-2An+9 ですから An+1=-2An+9=-2An+3k から 3k=9 従って k=3 です。 これをAn+1-k=-2(An-k) に代入すると An+1-3=-2(An-3) {An-3}={Bn}とおくと Bn+1=-2Bn （これはAn+1-3をBn+1 -2(An-3)を-2Bnに置き換えただけです。） よって、{Bn}はBn= An-3、A1=1 よりB1=1-3=-2＝初項A 公比r=-2の等比数列ですから、等比数列の公式 An=a*r^(n-1) Bn=-2*(-2)^(n-1) ここで初項と公比がともに-2ですので初項を書く代わりに乗数を(n-1)+1=nとして Bn=(-2)^n となります。 {An-3}={Bn}ですから An=Bn+3 したがって An=(-2)^n+3 が答えです。 （2）A1=1 An+1=4An+3 (1)と考え方は同じです。An+1 + k =4(An +k) とおくと An+1=4An + 3k , An+1=4An+3 より k=1 An+1 + k =4(An +k) に k=1 を代入して An+1 + 1 =4(An +1) {An +1}={Bn} とおくと Bn+1=4Bn よって、{Bn}は B1=1+1=2(初項） 公比r=4 の等比数列であるから 公式An=A*r^(n-1)より Bn=2*4^(n-1) これを An +1=Bn を変形した An =Bn-1 に代入すると An =2*4^(n-1)-1 が一般項と解ります。
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