数列の漸化式に関する問題とその解法

質問

• 数列の漸化式の問題で、第100項と初項から第100項までの和を求める方法について解説します。
• 数列の積の和を求める問題について、異なる２つの項の積の和と、互いに隣り合わない異なる２つの項の積の和の求め方について説明します。
• 漸化式によって定められる数列の一般項を求める方法について解説します。具体的な漸化式の例と解法を示します。

回答No.4

szlachta7

１を説明します。すでに他の方が指摘されている通り、これは漸化式の問題ではなく群数列の問題です。（漸化式とはAnとAn+1の関係を表す式のことです。）

この数列は右のような群に分けられます。　1/1,4/1,4,9/1,4,9,16/1,4,9,16,25/・・・・・・
順番に第１群、第２群、第３群、第４群、第５群　・・・と名づけると、群の数と、その群の中の項数が一致していますね。
つまり、第ｎ群にはｎ個の項があるということです。このことから、第１群から第ｎ群までの項数の和は、
1+2+3+4+5+・・・・+n=Σ{k=1　n}k=n(n+1)/2 となるのは公式通りですよね。
ここで第１００項が第ｎ群にあるとしましょう。式で表せば　100=<n(n+1)/2　ですね。
ｎを求めやすいように両辺を２倍して　200=<n(n+1)　として、当てはまりそうな数を入れてみましょう。　まず１３を代入すると　13*(13+1)=13*14=182 ちょっと足りませんでしたので次に１４を代入すると　14*(14+1)=14*15=210　で、 200=<n(n+1)　が成立しました。つまり、第１００項は第１４群の中にあるということです。
第１群から第１３群までの全項数は　1/2*13*14=91 より、９１項あることがわかります。
従って、第１００項は第１４群中100-91=9で９番目の項です。 各項の数字は、群の中での項数の２乗（例：第５群　1(1^2),4(2^2),9(3^2),16(4^2),25(5^2)）ですから、第１００項は 9^2=81 なので８１です。

次に初項から１００項までの和を求めましょう。第1群から第１３群までの項の和は、Σ{k=1　13}k^2　で求められますね。　公式Σ{k=1 n}k^2=n(n+1)(2n+1)/6
=n^3/3+n^2/2+n/6　ですから、Σ{k=1　13}｛n^3/3+n^2/2+n/6}
=1/3Σ{k=1 13}n^3+1/2Σ{k=1 13}n^2+1/6Σ{k=1 13}n
=1/3{n(n+1)/2}^2+1/2*n(n+1)(2n+1)/6+1/6*n(n+1)/2
=1/3(13*14/2)^2+1/2(13*14*27)/6+1/6(13*14/2)
=33124/3*4+4914/2*6+182/12=38220/12=3185

第１４群の第1項から第９項までの和は
Σ{k=1 9}k^2=9*10*19/6 　(←公式n(n+1)(2n+1)/6のnに9を代入して計算）
=285

3185+285=3470

というわけで、答：第１００項＝８１　　初項から第１００項までの和＝３４７０となります。