- ベストアンサー
線形代数の問題:逆行列の証明と線型写像の核と像の関係
- 質問文章から生成したタイトルです。
- 問1では、n次歪エルミート行列Aに対して、I + Aが逆行列を持つことを証明します。
- 問2では、n次複素ベクトル空間C(n)とその部分空間の核と像について考察します。具体的には、fA(ImfA)=ImfA、(ker fA) U (Im fA) = C(n)、(ker fA) ∩ (Im fA) = {0}の3つの関係を示します。また、Aが零固有値をもつ場合、固有方程式における零固有値の重複度とfAの核の次元が等しいかどうかについても考えます。
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 線形代数の問題で質問です。
線形代数の問題で質問です。 次の問題の1、2、5はできたのですが、3、4、6がわかりません。 どなたか3、4、6をお教え頂けませんでしょうか。よろしくお願いします。 以下、問題。 C(n)、C(m)をそれぞれn次とm次の複素ベクトル全体の集合とする。 Aをm×n複素行列とする。AはC(n)からC(m)への線形写像を与える。 A※でAのエルミート共役行列を表す。AはC(m)からC(n)への線形写像となる。 C(n)、C(m)にはそれぞれ標準的な内積 <,>n 、 <,>m が定義されているとする。 ◎を直和記号とする。 部分ベクトル空間Vに対して、V?はVの直交補空間とする。 Im A ={Ax│x∈C(n)}、Ker A ={x∈C(n)│Ax=0}と定義される。 以下の事実を証明せよ。 1、<A※y,x>n = <y,Ax>m 、 y∈C(m)、x∈C(n) 2、Ker A※ = (Im A)? 3、Im A ◎ Ker A※ = C(m) 4、Im A※ ◎ Ker A = C(n) 5、(Ker A)? = Im A※ 6、Im A = Im AA※
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数がわかりません・・・
線形代数がわかりません・・・ A? = -A となる行列を歪エルミート行列という。 (1) 歪エルミート行列の固有値は全て純虚数であることを示せ。 (2) 歪エルミート行列の相異なる固有値に関する固有空間は互いに直交することを示せ。 (3) 歪エルミート行列はユニタリ行列で対角化できることを示せ。 がわかりません。。。おねがいします><
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の問題で分からない問題があります。
次の2問を詳しく御願いします。 1.A=(aij)を(i,j)成分がaijである複素n次正方行列とし、tA=(ajiバー)を(i,j)成分がajiバー(ajiの複素共役)である複素n次正方行列とする。 (1)2つのx,y∈Cのn乗に対して (Ax,y)=(x,tAバーy)が成り立つことを示せ。ここに(x,y)は2つのベクトルx,y∈Cのn乗に対する標準内積を表す。 (2)A=tAバー(つまりAはエルミート行列)とする。Aの固有値αに対する固有空間{v∈Cのn乗|Av=αv}をV(α)で記す。このときAが異なる実数の固有値α1,α2を持つとするとV(α1)⊥V(α2)が成り立つことを示せ。 ここにV(α1)⊥V(α2)とはどのようなx∈V(α1),y∈V(α2)に対しても(x,y)=0が成り立つことを意味する。(つまりV(α1)とV(α2)は直交する) 非常に見えづらくなってしまって本当に申し訳ないのですがよろしく御願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数に関する問題
Vを有限次元実ベクトル空間とし、fをVの線形写像とします。 このとき、 (1)Ker f⊂Ker f^2⊂Ker f^3⊂… (2)Im f⊃Im f^2⊃Imf^3⊃… (3)あるn>0が存在して、Ker f^n +Im f^n =V を示せという問題なのですが、どのように手をつけていいのか わかりません。どなたか、ヒントをいただけないでしょうか? お手数ですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数 行列の対角化とユニタリー行列について
線形代数 行列の対角化とユニタリー行列について 行列Aをの固有値a1,a2,.....に対して固有ベクトルをv1,v2,.....とするとAを対角化する変換行列Pは P=(v1,v2,...)となりますよね?このとき対角化された行列は PAP^(-1)とP^(-1)APのどちらですか? 教科書によって違うので混乱しています。 また、Aが対角化可能かどうかは具体的にはどのように判断するんですか? というのも今までエルミート行列しか対角化したことなかったんです。 エルミート行列を対角化する変換行列はユニタリー行列であるという認識は正しいですか? ユニタリー行列の場合変換の際に基底の大きは保存されると思います。よって大きさが変わっていいならユニタリーでなくても対角化できそうなのですが。 一般的には対角化とエルミート行列とユニタリー行列の間にはどんな関係があるのでしょうか? 迷走した質問ですみません。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の問題で質問です。どなたか以下の問題をお教えいただけませんでし
線形代数の問題で質問です。どなたか以下の問題をお教えいただけませんでしょうか。 よろしくお願いします。 問題 m次複素正方行列 A = (aij)、n次複素正方行列 B = (bkl)、 m×n複素行列 C = (cil) が与えられたとき、m×n複素行列 X = (xil) に対する方程式 AX-XB=C を考える。 ただし、aijは行列Aのi行j列の成分を表す。bkl、cil、xilも同様とする。 このとき以下の質問に答えよ。 1、 行列A、Bがそれぞれ上三角行列の場合、任意の i = 1、2、・・・、m と k =1、2、・・・、n に対して、 aii = bkk が成立するなら、行列Xが一意に定まることを示せ。 2、 一般に、行列Aと行列Bが共通の固有値を持たないならば、行列Xは一意に定まることを示 せ。 ここで、適当な正則行列U、Vが存在して、UAU^、VBV^がそれぞれ上三角行列になるとい う事実を用いてよい。ただし、U^とV^は、それぞれUとVの逆行列を表す。 3、 m=nとする。行列Aを対角化可能、行列Cをエルミート行列とし、 B=-A※ と選ぶ。 このとき、行列Xが一意に定まる場合、X=X※であることを示せ。ここで、A※とX※はそれ ぞれ行列AとXのエルミート共役をあらわす。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の問題です、助けてください
VをC上の有限次元ベクトル空間とし、β、β1.......βnはVからCへの線形写像とする n n また、β1、......βnは一次独立で ∩Ker(β)とする。この時、β=∑αjβjを満たすα1、 j=1 j=1 α2、.....αn∈C.が存在することを示しなさい。ここで n ∩Ker(βj)=Ker(β1)∩Ker(β2)∩・・・・∩Ker(βn)とする。 j=1 わかりません、詳しく解答してくださると助かります!!お願いします(>人<;)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題です。
線形代数の問題です。 1.U,U'がそれぞれK上のn次元ベクトル空間とする。このとき線形写像f:U→U'が単射であることと全射であることが同値であることを証明せよ。 2. 行列Aの固有値をλ1,λ2,…λnとしたとき、 行列A^2の固有値は、Aの固有値をそれぞれ2乗したもの以外には存在しない。これは正しいか 3.Aのすべての成分が正でかつ行列式が正なら、Aの逆行列の成分もすべて正であることを示せ。 以上です。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数に関する質問です
VをC上の内積空間とする。f∈EndVに対して次を示せ。 (EndVはVの線形変換全体の集合) (i)fがエルミート変換ならばfの固有値は実数である。 という問題があるのですがこれはエルミート行列の固有値が実数であることを証明しろといっているのと同じでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題です!至急おねがいします!!!!
至急お願いします!!!!! 線形代数の問題です。見えづらいですが次の2問をよろしくお願いします。 ※バーとは複素共役のことです。 標準内積の定義 (x,y∈C) (x,y)=x1y1バー+x2y2バー+…xnynバー (yのみバーがつきます) また標準内積は次の性質を満たす 1.(x1+x2y)=(x1,y)+(x2,y) 2.(λx,y)=λ(x,y)(λ∈C) 3.(x,y)=(y,x)バー 4.||x||≧0,||x||=0⇔x=0 またtAは転置行列を表す。 tAバーはAの上のみにバーがあります。 1.A=(aij)を(i,j)成分がaijである複素n次正方行列とし、tA=(ajiバー)を(i,j)成分がajiバー(ajiの複素共役)である複素n次正方行列とする。 (1)2つのx,y∈Cのn乗に対して (Ax,y)=(x,tAバーy)が成り立つことを示せ。ここに(x,y)は2つのベクトルx,y∈Cのn乗に対する標準内積を表す。 (2)A=tAバー(つまりAはエルミート行列)とする。Aの固有値αに対する固有空間{v∈Cのn乗|Av=αv}をV(α)で記す。このときAが異なる実数の固有値α1,α2を持つとするとV(α1)⊥V(α2)が成り立つことを示せ。 ここにV(α1)⊥V(α2)とはどのようなx∈V(α1),y∈V(α2)に対しても(x,y)=0が成り立つことを意味する。(つまりV(α1)とV(α2)は直交する) どうかよろしくお願いします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました。助かりました。