これはどのように解けばいいのですか？

質問

これはどのように解けばいいのですか？
どなたか教えて下さい。

∫(0~1) x^2 / (1+x^4) dx

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

I=∫(0→1) x^2/(1+x^4) dx
= ∫(0→1) x^2/{(1+x^2-x√2)(1+x^2+x√2)} dx
= 1/(2√2)∫(0→1) {x/(1+x^2-x√2)-x/(1+x^2+x√2)} dx
= 1/(2√2)∫(0→1) x/(1+x^2-x√2)dx
-1/(2√2)∫(0→1) x/(1+x^2+x√2)dx

I1=∫(0→1) x/(1+x^2-x√2)dx
=∫(0→1) x/((x-1/√2)^2+1/2)dx
t=(x-1/√2)√2と置換、dx=dt/√2
I1=∫(-1→√2-1) {2(t+1)/√2}/(t^2+1)dt/√2
=∫(-1→√2-1) (t+1)/(t^2+1)dt
=(1/2)log(1+t^2)|(-1→√2-1)+tan^-1(t)|(-1→√2-1)
={log(2-√2)}/2 +tan^-1(√2-1) +π/4

I2==∫(0→1) x/(1+x^2+x√2)dx
=∫(0→1) x/((x+1/√2)^2+1/2)dx
t=(x+1/√2)√2と置換、dx=dt/√2
I2=∫(1→√2+1) {2(t-1)/√2}/(t^2+1)dt/√2
=∫(1→√2+1) (t-1)/(t^2+1)dt
=(1/2)log(1+t^2)|(1→√2+1)-tan^-1(t)|(1→√2+1)
={log(2+√2)}/2 -tan^-1(√2+1) +π/4

I={1/(2√2)}(I1-I2)
=(1/4√2)log((2-√2)/(2+√2)) +{1/(2√2)}{tan^-1(√2+1)+tan^-1(√2-1)}
={log(√2-1)}(√2)/4 +(√2)π/8

合っているかは自分で検算して見て下さい。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

spring135

不定積分
∫x^2 / (x^4+a^4) dx=(log|(x^2-√2ax+a^2)/(x^2+√2ax+a^2)|
+2arctan(√2ax/(a^2-x^2)))/(4√2a)

においてa=1として（0～1）における定積分の計算を行う。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

Anti-Giants

a = root{2}.
x^4+1
= (x^2 + 1)^2 -(ax)^2
= (x^2 - ax + 1)(x^2 + ax + 1)

x^2/(1+x^4)=1/2a×[x/(x^2 - ax +1) - x/(x^2 + ax +1)].

あとは1/(1+x^2)とx/(1+x^2)の形の積分。

お礼

ありがとうございます