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3人で競う時に勝つ確率
3人で競う時に勝つ確率 Aさん,Bさん,Cさんの3人で競う時にAさん、Bさん、Cさんが勝つ確率はそれぞれどれくらいでしょうか? ただし、前提条件として AさんとBさんの2人で競ったときはAさんが勝つ確率は0.6(Bさんが勝つ確率は0.4) AさんとCさんの2人で競ったときはAさんが勝つ確率は0.7(Cさんが勝つ確率は0.3) BさんとCさんの2人で競ったときはBさんが勝つ確率は0.6(Cさんが勝つ確率は0.4) こんな問題を思いついたのですが、自分で解くことができません。 確率に詳しい方、よろしくお願いします。
- keiba_eigo
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すいません。A と C が対戦した時の勝率を見間違えて いました。そのため、周辺確率無しでも計算できますね。 さて、まず、A の平均を 0, 分散を 1 にしても一般性は 失われないので、 Aの平均値が 0, 分散を 1 Bの平均値が A2, 分散を V2 Cの平均値が A3, 分散を V3 としましょう。 全員の分散を同じとしてしまうと、自由変数が A2 と A3 の 二つだけになってしまいますので、解なしになってしまう 可能性があります。 (もっとも、4元連立3次方程式になるのでこのままでも解けませんが) さて、AとBが競った時、AとBのスコアの差は、 平均値 0-A2, 分散が 1+V2 になります。 この時、正規分布で勝率が 0.6 になるためには、 Excel で、=NORMINV( 0.6,0,1) をすると、偏差が 0.25 ぐらいだと 分かるので、(正規分布表でもいいですが) 0-A2 = √(1+V2) x 0.25 となります。 同様に、BとCが競った時のの勝率から、 A2-A3 = √(V2+V3) x 0.25 同様に、AとCが競った時の勝率から、 0-A3 = √(1+V3) x 0.52 となります。4元連立3次方程式で解けないので とりあえず V2 を 1 としてあげると、 解けて、それぞれ約ですが、 A2 = -0.35 V2 = 1 A3 = -0.69 V3 = 0.74 となります。 ここから難しいですね。 それぞれの平均と分散は求められたのですが、計算で確率を計算する 方法が思い浮かばなかったので、モンテカルロ法でシミュレーション してみました。(実際に乱数で何度もやってみる方法です) すると、1万回の試行で、 Aは、49.5% Bは、31.9% Cは、18.6% となりました。
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- kentarou2333
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No.1 さんのおっしゃるように、そもそも競う方法が 分からないとなんとも言いにくいでしょう。 そもそも野球だったら、3 人で競う事もできないです。 リーグ戦にするのも一つだと思いますが、 その場合の試合の回数によっても確率は変わるでしょう。 プロレスのようなものであれば、それなりに実力が 拮抗していると、その中のちょっと強い人が最初に 二人に攻められて、勝つ確率が悪くなるなんていうのも あるように、三人になると、様々な戦略が出てくる 場合が多いかと思います。 また、100m走や、ゴルフのように、他人との関係がなく、 純粋にスコアを競うのであれば、そもそも3すくみの 関係にすらならないでしょう。 相性によってスコアが、変化するという事であれば、 3人で競った時の誰が、どう有利かというのは、 条件に上げられた確率ではすまないでしょう。 つまり、実際に競う方法を明らかにしないと、 この問題は解けないという事です。 特に、3人で競う場合は、戦略もからみ、定式化は 難しいでしょう。 ただ、もし解があるとしたら、3人で輪になって 将棋の2面打ちを、お互いにやるような状況でしょうか。 この場合、 Aさんが、BとCの両方に同時に勝つ確率は、 0.6 * 0.3 => 0.18 Bさんが、AとCの両方に同時に勝つ確率は、 0.4 * 0.6 => 0.24 Cさんが、AとBの両方に同時に勝つ確率は、 0.7 * 0.4 => 0.28 となります。 それ以外の場合( 残り 30% )は、どうなるかと いうと、ちょうど1勝1敗の状態になり、 「あいこ」になります。 再試合すると、また同じ確率になりますので、 それぞれの勝率の比は、 9:12:14 となり、約26%, 34%, 40% の勝率になります。 (これは、実は、3人でリーグ戦をする場合と同じですけどね)
お礼
詳しい回答をありがとうございます。 考えていたものとしては、今回あげていただいた例の中では100m走で同時に走る場合に相当します。 この場合、周辺確率だけではなく、同時確率もわからないとやはり答えが出ないのでしょうね。 とりあえず実際の解決方法として、発揮する能力が同じ分散を持つ正規分布であるとして解いてみましたが、これよりもっといい方法があるでしょうか。
- k_kota
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問題が不完全です。 2人で競ったときの確率と3人で競った時の確率の関係が明らかではありません。 なので、問題をしっかり定義してください。
補足
このままでは解けないということですね。 たとえば、どのような条件があれば解けるようになるのか、しっかり教えてください。
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