逆三角関数の問題ですが、まったく理解できません。いつも初歩的な質問です

質問

逆三角関数の問題ですが、まったく理解できません。いつも初歩的な質問ですみませんが、解説お願いします。
(1) cos^(-1) 3/5 - sin^(-1) 4/5
(2) tan^(-1) 1/2 + tan^(-1) 1/3
(3) sin^(-1)a + cos^(-1)a 　　　(-1＜a＜1)

解答は (1) 0 ,(2) π/4 (3) π/2でした。

回答No.1

Hyokko_Lin · ベストアンサー

逆三角関数は、ある三角関数の値に対して、その値に対する角度を返す関数だと考えると分かりやすいかもしれません。

(1)
cos(θ)=3/5になる角度θを考えます。
このとき、sin(θ)=4/5になります。
(sin^(θ)+cos^2(θ)=1から導くか、3:4:5の直角三角形を考えれば分かるかと思います)

つまり、cos^(-1)(3/5)=θ、sin^(-1)(4/5)=θとなるので、
(与式)=θ-θ=0
となります。

(2)
tan(α)=1/2となる角度α、tan(β)=1/3となる角度βを考えます。
すると、
tan^(-1)(1/2)=α、tan^(-1)(1/3)=β
となります。

ここで、
tan(α+β)
={tan(α)+tan(β)}/{1-tan(α)*tan(β)}
=(1/2+1/3)/{1-(1/2)*(1/3)}
=1
よって、α+β=π/4

(与式)=α+β=π/4
となります。

(3)
sin(α)=aとなる角度α、cos(β)=aとなる角度βを考えます。
すると、
sin^(-1)(a)=α、cos^(-1)(a)=β
となります。

これらを繋げると、
sin(α)=cos(β)
となります。

ここで、三角比の公式
cos(π/2-θ)=sin(θ)
より、
β=π/2-α
α+β=π/2
となります。

よって、
(与式)=α+β=π/2
となります。

お礼

教科書の例題とか見ても全く理解できなかったのに、あという間に理解できました。ほんとうにありがとうございました。

回答No.3

info22_

(1)
辺の比が3：4：5の直角三角形を描いて2つの角が2つの鋭角のどの角に当たるかを考えればすぐ答えがでます。
cos^(-1) 3/5 は3と5の辺の間の角度…（●）、
sin^(-1) 4/5　は4と5の辺の間の角の補角、つまり（●）と同じ角度です。
なので
cos^(-1) 3/5 - sin^(-1) 4/5＝cos^(-1) 3/5 - cos^(-1) 3/5 = 0

(2)
tan(tan^(-1) 1/2 + tan^(-1) 1/3 )=((1/2)+(1/3))/(1-(1/2)(1/3))
=5/5=1
0<tan^(-1)1/2 <π/4, 0<tan^(-1)1/3 <π/4
0<tan^(-1) 1/2 + tan^(-1) 1/3 <π/2
∴tan^(-1) 1/2 + tan^(-1) 1/3 =π/4

(3)
三辺の比が 1:a:√(1-a^2)の直角三角形を描けば
sin^(-1)a と cos^(-1)a は 補角の関係にありますから
sin^(-1)a + cos^(-1)a =π/2
は明らか。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

hachijo

例えばsin^(-1)a=θとあったら、定義からsinθ=aとなります。

つまり、(1)～(3)のsin^(-1)3/5などは角度を示しているわけです。

ここでは(1)の解答と(3)のヒントを示しておきます。(2)は自分で解いてみてください。

（１）
cos^(-1) 3/5＝αとおくと、cosα＝3/5
sin^(-1) 4/5＝βとおくと、sinβ＝4/5
与えられた式はα-βとなる。
ここで、三辺が3,4,5の直角3角形にα、βを書き込んでみてください。それらが等しいことが分かると思います。

(3)については、参考URL解答NO2の中ほどを参照してください。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6008028.html

お礼

ありがとうございました